Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
ENGRANAJES
Rodrigo Molasvisibility
…
description
39 pages
link
1 file
Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes, conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran, transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. Esta transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes de la otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre ambas, estando durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos, cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales, cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la figura ( .1) se pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que engranan entre sí, z1 y z2 estando montados sobre los ejes I y II, siendo el primero estriado, lo que permite al engranaje z1 deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición. Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como el teflón, por ejemplo, etc. Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste, motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a elevada velocidad. Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para el cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c) relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir.
Sign up for access to the world's latest research
checkGet notified about relevant papers
checkSave papers to use in your research
checkJoin the discussion with peers
checkTrack your impact
Sign up for access to the world's latest research
Related papers
2- ENGRANAJES
La tabla (3) da los números mínimos de dientes obtenidos por generación sin el sobrecortado de los flancos de los dientes, Estos valores se han obtenido haciendo la relación de transmisión igual a infinito. El valor de se tomará: = 1,0 , para = 14,5º , 20º F.D y 25º altura completa = 0,8 , para = 20º altura recortada Carga radial . -Wr = Wt . tan Siendo: Wt = Carga tangencial Angulo de paso del engranaje . -
GUIA 1 DE ENGRANAJES
Engranaje es una rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una máquina a otra. Un conjunto de dos o más engranajes que transmite el movimiento de un eje a otro se denomina tren de engranajes. Los engranajes se utilizan sobre todo para transmitir movimiento giratorio, pero usando engranajes apropiados y piezas dentadas planas pueden transformar movimiento alternativo en giratorio y viceversa.
HOMBRES Y ENGRANAJES
Me sería muy difícil relatar cómo se han transformado mis convicciones, más aún no siendo ello, probablemente, muy interesante.
Tutorial de ENGRANES
Engranaje Engranaje es una rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una máquina a otra. Un conjunto de dos o más engranajes que transmite el movimiento de un eje a otro se denomina tren de engranajes. Los engranajes se utilizan sobre todo para transmitir movimiento giratorio, pero usando engranajes apropiados y piezas dentadas planas pueden transformar movimiento alternativo en giratorio y viceversa.
ENGRANAJES TIPOS.DOC
Engranaje es una rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una máquina a otra. Un conjunto de dos o más engranajes que transmite el movimiento de un eje a otro se denomina tren de engranajes. Los engranajes se utilizan sobre todo para transmitir movimiento giratorio, pero usando engranajes apropiados y piezas dentadas planas pueden transformar movimiento alternativo en giratorio y viceversa.
ENGRANAJES
Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes,
conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran, transmitir el
movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia
relativamente reducida entre sí. Esta transmisión se realiza mediante la presión
que ejercen los dientes de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes
de la otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre ambas, estando
durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que
lo impidan o entorpezcan. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos,
cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales,
cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la figura (Fig.4.1) se
pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que engranan entre sí, z
1
y z
2
estando montados sobre los ejes I y II, siendo el primero estriado, lo que permite
al engranaje z
1
deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición.
Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo
ser éstos fundición de hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como
el teflón, por ejemplo, etc.
Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste,
motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial
como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está
continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a
elevada velocidad.
Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para
el cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia
entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c)
relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir.
Clasificación de los engranajes
Según como los engranajes interactúen entre sí, se los puede clasificar como:
a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí, directamente
una con otra, como es el caso de la figura (Fig.4.1).
b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno sobre otro a
través de un vínculo intermedio o auxiliar, como es el caso de los
engranajes a cadena que se muestra en la figura (Fig.4.2), donde z
1
es la
rueda conductora o motora, la cual se encuentra montada sobre un eje
motor y transmite el movimiento a la rueda conducida z
2
a través de la
cadena. Caso de las bicicletas, donde la rueda de menor diámetro se
denomina generalmente piñón.
A su vez, los engranajes de acción directa, según sean las posiciones de sus
ejes, pueden presentar los siguientes casos: 1- sus ejes son paralelos; 2- sus
ejes se cortan; 3- sus ejes se cruzan; 4- engranajes de rueda y tornillo sinfín.
1- Ruedas de ejes paralelos : se presenta para ruedas cilíndricas que están
montadas sobre ejes paralelos, pudiendo presentarse distintos casos, según se
muestran a continuación:
En la (Fig.4.3) se tiene una rueda o piñón z
1
que engrana con una
cremallera z
2
, siendo esta última una rueda dentada de radio infinito, por
lo tanto el número de dientes que tendrá es infinito, por lo que se utiliza
una porción de la misma, de acuerdo al recorrido o desplazamiento que se
quiera obtener. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son
4
2
paralelos. Para una velocidad angular n
1
le corresponderá para la cremallera una velocidad v de
desplazamiento.
En la (Fig.4.4) se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una
distancia L siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos, de engrane exterior,
pudiendo tener dientes rectos, helicoidales o en V.
En la (Fig.4.5) se observan dos ruedas de engrane interior, una de las cuales, la de
menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor diámetro, tiene dentado
exterior, en tanto que la exterior cuenta con dientes interiores. La distancia L entre los
ejes es igual a la diferencia de sus radios primitivos.
En la figuras (Fig.4.6), (Fig.4.7) y (Fig.4.8) se puede observar engranajes de ejes
paralelos, de dientes rectos, helicoidales y en V respectivamente.
2- Ruedas cuyos ejes se cortan : este caso se presenta en los engranajes cónicos, los
que están construidos de tal modo que si sus ejes se prolongaran, ellos se encontrarán en
un punto o vértice común. Sus dientes pueden ser rectos, en arco o en espiral,
respondiendo en cada caso a determinadas condiciones de trabajo y trazado. En la
figura (Fig.4.9) se observa un engranaje cónico de dientes rectos y en la figura
(Fig.4.10) un engranaje cónico de dientes en espiral.
El ángulo a que forman los ejes I y II de los engranajes z
1
y z
2
respectivamente, al
cortarse puede ser: figura (Fig.4.11a) a = 90º, con lo que se
obtiene un cambio en la transmisión del movimiento de rotación
perpendicular al original; figura (Fig.4.11b) a < 90º el cambio se
produce en ángulo agudo y figura (Fig.4.11c) a > 90º la dirección
cambia en un ángulo obtuso.
3- Ruedas cuyos ejes se cruzan en el espacio : son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales
cuyos ejes se cruzan en el espacio, lo que permite lograr el cambio de dirección de la transmisión
del movimiento. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua (Fig.4.12),
formando un ángulo a menor a 90º o en forma perpendicular (Fig.4.13), donde
es a igual a 90º. Estos engranajes son de dientes helicoidales.
4- Engranajes de rueda y tornillo sinfín : se pueden presentar tres casos, según sea el perfil de los
dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente, los cuales se indican
esquemáticamente en la figura: en la (Fig.4.14a) se tiene ambos de perfiles cilíndricos, la
(Fig.4.14b) muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico, y en la (Fig.4.14c)
tanto la rueda como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. La (Fig.4.14d) muestra como
engranan una rueda de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico.
Elementos de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. Notación
Cuando dos engranajes engranan entre sí, el contacto que hacen los dientes de ambos se realiza en
la línea que marca el perímetro de la superficie de dos cilindros lisos ideales,
pertenecientes a cada uno de ellos, que se transmiten por fricción el movimiento de
rotación de sus ejes sin deslizar uno sobre otro, denominados cilindros primitivos,
constituyendo la circunferencia de cada superficie, la circunferencia primitiva de los
engranajes. Los distintos parámetros de un engranaje y el cálculo de los mismos
están referidos a su circunferencia primitiva. Por lo general se denomina al engranaje
de mayor diámetro rueda y al de menor diámetro piñón. A continuación se ilustra la
terminología básica más usada de los distintos elementos que componen un
engranaje, mostrándose en las figuras que siguen los mismos. En la figura (Fig.4.15)
se indican las circunferencias primitivas del piñón y de la rueda, cuyos ejes O
1
y O
2
están separados la distancia L. En ella se observan además, los diámetros primitivos
D
p
de la rueda y d
p
del piñón y sus radios primitivos R
p
y r
p
respectivamente; se
indica con n
1
el número de vueltas por minuto con que gira la rueda y con n
2
con la
que gira el piñón, siendo z
1
y z
2
el número de dientes de cada uno de ellos
respectivamente; v es la velocidad tangencial del punto de contacto de los dientes. En
la figura (Fig.4.16) se muestran dos dientes de la rueda, en la que se notan:
- Paso Circunferencial p
c
: es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes
consecutivos, medido sobre la circunferencia primitiva, siendo igual para la rueda y
para el piñón, denominándose en este caso, ruedas homólogas, siendo por lo tanto:
2 1
z
d
z
D
p
p p
c
(4.1)
El paso circunferencial p
c
se lo obtiene dividiendo, en
tantas partes como dientes tenga la rueda o piñón, la
circunferencia primitiva.
- Paso Diametral en pulgadas (Diametral Pitch) p
d
: es
el número de dientes que tiene un engranaje por cada
pulgada del diámetro primitivo:
p p
d
d
z
D
z
p
2 1
(4.2)
En la (4.1) pasando D
p
y d
p
al denominador se obtiene:
d
p p
c
p
d
z
D
z
p
2 1
- Módulo o Paso Diametral M: siendo p
c
un
número irracional por contener su determinación el
número irracional , lo serán también todas las
dimensiones del engranaje que son función del paso
circunferencial, por lo que para resolver este
inconveniente se divide ambos miembros de la
(4.1) por , obteniéndose el módulo M, el cual se
toma como base de cálculo de los engranajes,
resultando:
2 1
z
d
z
D
p
M
p p
c
(4.4)
Es decir que para que dos engranajes puedan engranar entre sí, sus módulos deben ser iguales.
En la figura (Fig.4.17) se observa, para un engranaje cualquiera, con número de dientes z = 10 y D
p
= 60 mm, es el módulo M = 6 mm.
- Circunferencia de fondo (interior) o de raíz, es la circunferencia cuyo diámetro es D
i
(Fig.4.16),
y su radio es R
i
(Fig.4.17) y corresponde al cilindro en el cual se encuentra arraigado el diente.
- Circunferencia de cabeza o exterior, es la circunferencia descripta por la cabeza de los dientes, de
diámetro D
e
(Fig.4.16) y radio R
e
(Fig.4.17).
- Circunferencia primitiva, es la circunferencia de contacto de los cilindros primitivos.
- Altura de cabeza del diente o adendo: es la altura radial a del diente (Fig.4.17), medida entre la
circunferencia primitiva y la circunferencia de cabeza o exterior.
- Altura del pié del diente o dedendo: es la altura radial d del diente (Fig.4.17), medida entre la
circunferencia primitiva y la circunferencia de raíz.
- Altura del diente: es la suma h de la altura de cabeza y la del pié del diente (Fig.4.17):
h = a + d (4.5)
- Espesor del diente: es el grueso e de un diente (Fig.4.17), medido sobre la circunferencia
primitiva. Se lo toma generalmente como la mitad del paso circunferencial.
2
c
p
e
(4.6)
O reemplazando en la (4.6) el valor de p
c
dado por la (4.3):
d
p
e
2
(4.7)
- Vacío o hueco del diente: es el hueco V entre dos dientes consecutivos, en el cual penetra el diente
de la otra rueda que engrana con ésta. Teóricamente es igual al espesor, pero en la ejecución
práctica de un engranaje, a los efectos de evitar el calentamiento por rozamiento y a las
inexactitudes, tanto en la construcción como en el montaje, que siempre se tiene en forma no
deseable pero inevitable, es mayor ya que presenta un juego tangencial o lateral,
siendo este juego restado del espesor y sumado al vacío del diente.
- Juego radial o de fondo y Juego lateral o tangencial del diente: también
llamados holguras del diente, son los espacios J
r
y J
l
respectivamente que quedan,
el primero entre la cabeza del diente de una de las ruedas y la circunferencia de raíz
de la otra a efectos de evitar la presión que pueda producir el contacto entre ambos,
y el segundo entre los perfiles de los dientes como ya se dijera en el punto anterior y
además para permitir la deflexión de los mismos, permitir la lubricación y la
dilatación térmica, cuando están engranando entre sí (Fig.4.18).
Relaciones fundamentales de ruedas cilíndricas de dientes rectos
Analizando la figura ya vista (Fig.4.15), de la misma resulta que las velocidades angulares ω
1y
ω
2
en radianes sobre segundo, en función de n
1
y n
2
, están dadas por las expresiones:
a) ω
1
=2.n
1
y b) ω
2
= 2.n
2
(4.8)
La relación de transmisión del movimiento, i, se define como el cociente entre las velocidades
angulares w
1
de la rueda motora y w
2
de la rueda conducida:
2
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
i
w
w
(4.9)
Por ser v
1
= v
2
= v y además, por ser v = R.ω, por la (4.8) se tiene:
60
)
60
)
2
2
1
1
n d
v b y
n D
v a
p p
(4.10)
es:
60 60
2 1
n d n D
p p
(4.11)
De la (4.11), haciendo pasajes de términos, y por ser D
p
= 2R
p
y d
p
= 2r
p
, resulta:
p
p
p
p
R
r
D
d
n
n
2
1
(4.12)
De la (4.4), haciendo pasajes de términos se obtiene:
1
2
z
z
R
r
D
d
p
p
p
p
(4.13)
Por lo tanto, de las expresiones (4.9), (4.12) y (4.13) se obtiene una expresión generalizada para la
relación de transmisión:
1
2
2
1
2
1
z
z
R
r
D
d
n
n
i
p
p
p
p
w
w
(4.14)
De la (4.14) se pueden obtener los valores de cada parámetro en función del resto de los otros
haciendo pasajes de términos, así se obtienen, por ejemplo
a)
1
2
2 2 2 1
z
z
n
R
r
n
D
d
n n
p
p
p
p
o b)
p
p
p
p
r
R
z
d
D
z
n
n
z z
2 2
1
2
2 1
(4.15)
La distancia L entre ejes de los engranajes es:
p p
p p
r R
d D
L
2
(4.16)
Además, de la (4.13) o (4.14) se obtiene, haciendo pasajes de términos:
2
1
z
z
r R
p p
(4.17)
Por lo tanto, la (4.16) se puede escribir como:
1
2
1
2
1
z
z
r r
z
z
r L
p p p
(4.18)
Si de la (4.18) se despeja r
p
:
a)
1
2
2
1
1 1
n
n
L
z
z
L
r
p
o b)
1
2
2
1
1
2
1
2
n
n
L
z
z
L
d
p
(4.19)
O también:
a)
2
1
1
2
1 1
n
n
L
z
z
L
R
p
o b)
2
1
1
2
1
2
1
2
n
n
L
z
z
L
D
p
(4.20)
Forma de los dientes
Para engranajes cilíndricos, por lo general el perfil de los dientes es de forma prismática
cilíndrica. La forma de las caras anterior abcd y posterior a’b’c’d’(Fig.4.19), son
simétricas respecto del radio que pasa por el punto medio del arco comprendido entre las
curvas del diente ad y bc en la cara anterior y a’d’ y b’c’ en la cara posterior, tomado
sobre la circunferencia primitiva de la rueda.
Engranajes homólogos
Dos o más ruedas dentadas son homólogas cuando ellas pueden engranar entre sí. Para
ello deben tener igual paso circunferencial p
c
y por consiguiente, igual módulo M. En la figura
(Fig.4.15) ambos engranajes son homólogos, siendo las dimensiones de los dientes iguales,
variando únicamente los diámetros de raíz, primitivos y de cabeza y por lo tanto el número de
dientes.
Perfil del diente
El trazado del perfil del diente es de suma importancia, ya que de ello dependerá que no existan
choques o contactos bruscos entre los engranajes. A los efectos de evitar la arbitrariedad en la
construcción del perfil del diente, ya que podrían existir un número muy grande de formas, lo cual
resultaría antieconómico y muy poco práctico, se han establecido curvas sencillas de ejecutar
técnicamente, como son las Curvas Cíclicas, las que generan perfiles de dientes: a) Cicloidales,
que a su vez pueden ser: 1- Cicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin
resbalar sobre una recta fija; 2- Epicicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda
sin resbalar, apoyado exteriormente sobre una circunferencia de mayor diámetro quen está fija; 3-
Hipocicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que gira sin resbalar, apoyado
interiormente sobre una circunferencia que está fija; 4- Pericicloide: curva engendrada por el punto
de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre un círculo fijo interior a ella, ambos en un mismo
plano; b) Evolvente de círculo, que es una curva engendrada por el punto de una recta que gira sin
resbalar sobre una circunferencia que está fija.
Si bien con las curvas cicloidales se obtienen perfiles más exactos, de menores rozamientos,
desgaste y choques de los dientes, estas ventajas pueden existir únicamente cuando la distancia
entre los centros de los engranajes se mantienen rigurosamente. Con la evolvente de círculo, el
perfil obtenido es más simple y fácil de ejecutar, no exigiendo además mantener la distancia entre
ejes invariable para que el engrane se realice en buenas condiciones. Actualmente el trazado del
perfil de los dientes no es tan importante como antes, ya que son obtenidos mediante fresado o
tallado.
Para el trazado práctico de la evolvente de círculo (Fig.4.20) se procede de la
siguiente forma: se traza con radio cualquiera R y centro en O la circunferencia
base, de la cual se toma un determinado arco. A partir de un punto inicial o sobre
este arco se efectúan divisiones con los puntos a, b, c y d a partir de los cuales se
trazan los radios Oo, Oa, Ob, Oc y Od. Se trazan las rectas perpendiculares a estos
radios: aA, bB, cC y dD. Haciendo centro sucesivamente en a, b, c y d, con radios
ao, bA, cB y dC respectivamente, se trazan los arcos oA, AB, BC y CD, resultando
con aproximación suficiente la curva oABCD la evolvente del círculo. Con esta
curva se está en condiciones de trazar el perfil del diente a evolvente de círculo.
Trazado práctico del perfil del diente de evolvente de círculo
Para efectuar el dibujo de un engranaje, el cual no
exige una gran exactitud, se procede de la siguiente
manera (Fig.4.21): tomando el engranaje cuya
circunferencia primitiva tiene radio R
p
= OC y centro
el punto O; se conocen las alturas a y d de la cabeza
y del pié del diente respectivamente, lo que permite
trazar las circunferencias de cabeza de radio R
e
y la
de raíz de radio R
i
. Se traza la recta Oy y la recta m-n
perpendicular a la primera, la que es tangente a la
circunferencia primitiva en el punto C. Por este
punto se traza una recta tangente en el punto G a la
circunferencia de radio OG, que es la circunferencia
base o de construcción para el perfil a evolvente de
círculo, la cual recibe el nombre de recta de
presiones y que forma un ángulo comprendido entre
15º y 25º con la m-n, el cual dependerá del número
de dientes del engranaje. Haciendo centro en G, si se
traza el arco ACB con radio GC limitado por la
circunferencia de cabeza y la de base, el mismo
resulta casi coincidente con la evolvente de círculo
que correspondería al punto A que está sobre dicha
circunferencia. Este arco ACB es parte del perfil del
diente, el cual se completa trazando el radio OA. El
perfil por debajo del punto A no es afectado, según la
experiencia, por el engrane de las ruedas que engranarían con la del trazado, motivo por el cual se
puede terminar redondeándolo a voluntad en el entalle para evitar la concentración de tensiones en
el ángulo vivo, reforzando al mismo tiempo la base del diente.
La línea de engrane es coincidente con la prolongación de la recta GC para los dientes de perfil a
evolvente de círculo y además con la recta de acción de la dirección del empuje o presión que le
ejerce el diente del otro engranaje que engrana con ella.
Una vez que se obtuvo el perfil de uno de los flancos del diente, el otro se traza en forma simétrica.
Determinando el punto C’, ya que se conoce el espesor e del diente sobre la circunferencia primitiva
dado por la (4.6), con radio GC y centro en C’ se corta la circunferencia de construcción en el punto
G’. Con centro en G’ y radio G’C’ se traza el arco A’C’B’ con lo que se construye el otro flanco del
diente, de igual forma que el del lado opuesto. Se puede además trazar el eje de simetría del diente
que pasa por el punto medio del arco CC’.
Para construir todos los dientes se divide la circunferencia primitiva en el doble de partes como
dientes tiene, o sea 2z partes, estando todos los centros de los arcos de evolvente ( G, G’, etc.) sobre
la circunferencia de base.
Interferencia en los engranajes de evolvente
La evolvente no puede introducirse dentro de la circunferencia base de la cual es generada. Si el
piñón gira en el sentido contrario a las agujas del reloj según se indica en la figura (Fig.4.22), el
primer contacto entre los perfiles de los dientes se hace en e y el último punto de contacto en g,
donde la línea de presión es tangente a las circunferencias bases.
Si el perfil del diente del piñón se extiende más allá de un arco de
circunferencia trazado por g interferirá en i, según se observa en
la figura, con la parte radial de la rueda (de mayor diámetro),
solamente evitable si se rebaja el flanco del diente del piñón. Esta
interferencia limita la altura de la cabeza del diente, y a medida
que el diámetro del piñón se hace más chico, la longitud
permitida de la cabeza del diente de la rueda se hace más
pequeña. Para que dos engranajes engranen sin interferencia, el
contacto entre sus dientes debe realizarse dentro de los límites g-
e de la línea de presión.
En la figura (Fig.4.23) se observa que para actuar sin
interferencia, el punto más alejado del engranaje conducido
A (rueda) debe pasar por el punto e, que pertenece al
diámetro límite de la circunferencia de adendo del engrane,
ya que si fuera mayor, el contacto se realizaría fuera de los
límites g-e ya mencionados introduciéndose dentro de la
circunferencia base.
Analizada geométricamente la figura (Fig.4.23), el diámetro
máximo exterior Ae, de la cabeza del diente o adendo, del
engranaje conducido A (rueda) está dado por la expresión:
Ae = R + a =
2 2
ge Ag
=
2 2 2 2
cos sen r R R
(4.21)
Si se denomina z
R
y z
r
al número de dientes de la rueda y del
piñón respectivamente, siendo p
d
el paso diametral dado por
la (4.2), se obtiene:
a)
d
R
p
z
R
2
y b)
d
r
p
z
r
2
(4.22)
Si además se pone en función del paso diametral y de un coeficiente m, el cual depende de las
proporciones elegidas entre las dimensiones del diente y el paso diametral, el valor del adendo a,
resulta:
d
p
m
a
(4.23)
El coeficiente m depende de la norma con que se dimensione el diente. Para engranes de
profundidad completa en la norma americana, es m = 1; para dientes chatos es m = 0,8. Existen
tablas que dan las proporciones de los dientes en función del ángulo de presión, del paso diametral y
del paso circular. Si en la expresión (4.21) se reemplazan R, r y a por sus valores dados por la (4.22)
y (4.23) y operando se obtiene:
2
2
4
2
sen
m z m
z z z
R
R r r
(4.24)
Para un piñón de z
r
dientes y una cremallera z
R
= ∞ la (4.24) se reduce a:
2
2
sen
m
z
r
(4.25)
Para una relación conocida de m y conociendo el ángulo de presión α, con las expresiones (4.24) y
(4.25) se puede obtener el número mínimo de dientes z
r
del piñón que puede engranar con una rueda
de z
R
dientes, sin interferencia entre ambos. Para el mismo piñón de z
r
dientes, solo podrán
engranar con él ruedas de menor número de dientes que z
R
, ya que para ruedas de mayor cantidad de
dientes habrá interferencia.
Línea de engrane
La línea de engrane es el lugar geométrico formado por todos los
puntos de contacto de dos dientes durante el giro de las ruedas que
engranan entre sí. Para que el contacto entre los dientes sea continuo
y no existan choques, la longitud de la línea de engrane debe ser
mayor que la longitud del arco correspondiente al paso
circunferencial. La línea de engrane se encuentra limitada por las
circunferencias exteriores. En la figura (Fig.4.24) se observa, además
de distintos parámetros de los engranajes, la línea de engrane de un
engranaje con dientes de perfil cicloidal, siendo ésta la formada por
los arcos de curvas MON pertenecientes a los círculos generadores
de radio r, y limitada por las circunferencias de cabeza.
Duración del engrane o relación de contacto
La duración del engrane es la relación existente entre el largo de la
línea de engrane y el largo del arco del paso circunferencial. Para
que exista siempre un diente engranando con otro, esta relación debe
ser mayor que 1. Por lo general debe ser:
50 , 1 25 , 1 a
ncial circunfere paso del Longitud
engrane de línea la de Longitud
Se procura hacer esta relación lo más elevada posible para repartir la carga que se transmitirá sobre
el mayor número de dientes. Cuanto menor sea el
número de dientes de una rueda, se debe tratar de lograr
una mayor duración del engrane. Por ejemplo, para
piñones de 15 dientes y cremalleras se adopta de 1,64 a
2,12.
Línea de engrane de dientes de perfiles a evolvente de
círculo
La línea de engrane de perfiles a evolvente de círculo es
una línea recta que coincide con la recta de presiones,
según lo ya visto precedentemente, y que resulta tangente
a las circunferencias de construcción de ambos
engranajes, limitada por las circunferencias de cabeza.
En la figura (Fig.4.25) se puede observar la línea de
engrane formada por el segmento MON para dos
engranajes limitado por las circunferencias de cabezas, coincidiendo estos límites, para este caso
especial, con los puntos tangentes a la circunferencia de construcción.
Ángulo de presión
El ángulo a (Fig.4.26) que forma la recta de presiones con la horizontal
tangente a las circunferencias primitivas, se denomina ángulo de presión.
Los valores de este ángulo están en función del número de dientes y se los
ha obtenido de grado en grado, estando tabulados.
Algunos de los valores del ángulo de presión, según el número de dientes
son los siguientes:
Nº de dientes Ángulo Nº de dientes Ángulo
8 25º 20 17º 30’
10 22º 30’ 25 15º
15 20º 30 14º 30’
La relación que liga los distintos parámetros indicados en la figura
(Fig.4.26), es decir a r, R,y a es la siguiente:
r
1
= R
1
cosa (4.26)
r
2
= R
2
cosa
(4.27)
Siendo r
1
y r
2
los radios de las circunferencias bases, R
1
y R
2
los radios de las circunferencias
primitivas y a el ángulo de presión.
Fuerzas sobre el diente
En el engrane de dos engranajes cilíndricos (Fig.4.27), o engranaje y cremallera (Fig.4.28), si bien
están en contacto por lo general dos o tres dientes, se considera que la fuerza ejercida por la rueda
motora sobre la conducida se realiza a través de un solo diente. Esta fuerza F
n
tiene la dirección de
la recta de presión, formando el ángulo a con la tangente a las
circunferencias primitivas y está aplicada en el punto O de contacto de
ambos dientes. La misma puede descomponerse por lo general en tres
componentes, una fuerza tangencial F
t
, que es la fuerza que produce el
movimiento rotativo, una fuerza radial F
r
y una fuerza axial F
a
, soportadas
ambas por los órganos de sujeción del engranaje, siendo la última de ellas
nula en los engranajes rectos, como es el caso que se analiza. Del sistema
de fuerzas indicados en la figura (Fig.4.27), aplicado en el punto O, F
n
es la
resultante solo de F
t
y F
r
para dientes rectos, siendo normal a la tangente
que pasa por el punto O de contacto de los dos dientes y tiene además la
dirección de la recta de presión.
La potencia transmitida tangencialmente al movimiento de giro por la rueda motora a la conducida
es N, siendo n la velocidad de rotación en vueltas por minuto (rpm). Para el radio primitivo R, la
velocidad tangencial v del punto O de contacto de los dientes sobre el radio primitivo, según la (4.8)
y la (4.10) resulta:
v = ω.R =
60
2 n R
(4.28)
La potencia N en la dirección tangencial del movimiento es:
N = F
t
.v =
60
2 n R F
t
(4.29)
De la (4.29) se obtiene:
n R
N
n R
N
v
N
F
t
55 , 9
2
60
(4.30)
Por otra parte resulta, según la figura (F.4.27):
a)
a cos
t
n
F
F
y b) F
r
= F
t
tg α (4.31)
Por lo tanto, reemplazando en la (4.31) el valor de F
t
dado por la (4.30) se obtiene:
a)
a cos
55 , 9
n R
N
F
n
y b)
a tg
n R
N
F
r
55 , 9
(4.32)
El momento de rotación será:
M = F
t
.R (4.33)
Para N en vatios, v en m/s y R en metros resultan F
t
, F
r
y F
n
en Newton y M en Newton-metro,
estando sus valores dados por las expresiones anteriores. Para N en CV, R en centímetros y v en m/s
resultan F
t
, F
r
y F
n
en kg y M en Kgcm, y las expresiones anteriores se escriben:
a)
100 . 60
2 n R
v
y b)
75
. v P
N
(4.34)
Reemplazando el valor de v dado por la (4.34a) en la (4.34b) resulta:
71620
. . n R P
N
(4.35)
Y el momento de rotación:
n
N
R P M 71620 .
(4.36)
Siendo:
a)
n
N
R
F
t
71620
b)
a cos
1 71620
n
N
R
F
n
c)
a tg
n
N
R
F
r
71620
(4.37)
Sistemas normalizados utilizados para la fabricación de engranajes (con perfiles a evolvente de
círculo)
Todas las expresiones vistas son para dientes normales y de uso más generalizado. Sin embargo
existen, aunque no varíen fundamentalmente el cálculo, otros sistemas desarrollados por diferentes
firmas que presentan características especiales, ya sea para darle mayor resistencia al diente o lograr
engranes en condiciones especiales. Debido a la gran cantidad de proporciones de dientes, y a los
efectos de permitir la intercambiabilidad, se normalizaron los mismos en base a un número limitado
de dientes. En los distintos países se han establecido sistemas normales para diferentes tipos de
engranes, como por ejemplo la norma de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes
(AGMA) y Asociación Americana de Normas (ASA) en los Estados
Unidos, la Comisión de Normalización Alemana (DIN), Comité de
Normalización Francés (C.N.M.), especificaciones etc. Estos sistemas
establecen las relaciones entre la altura de la cabeza del diente, la altura del
pié del diente, el ángulo de presión, el espesor del diente, etc. A
continuación se verán los parámetros característicos de los principales
sistemas, los cuales se indican en la figura (Fig.4.29) en forma genérica,
dándose para cada caso particular del sistema que se mencione, el valor de
cada uno de ellos, según corresponda.
Sistema Brown - Sharpe
Por lo general este sistema está asociado al uso del sistema métrico decimal,
estableciendo la proporcionalidad del engranaje en función del módulo,
estando tabulados hasta el módulo 20 al que le corresponde una altura del
diente de 43,32 mm. Sus parámetros principales son:
Ángulo de presión : a =15º
(4.38)
Espesor del diente : e =½ p
c
= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.35)
No presenta juego lateral en el engrane por no admitirse el mismo en todos los dientes
normalizados.
Altura de la cabeza del diente : a = M (4.36)
Altura del pié del diente : d =
7
/
6
M = 1,166M (4.37)
Esta altura es mayor que la de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del
engranaje.
Altura total del diente : h = a + d =2,166M (4.38)
Diámetro primitivo : D
p
= z.M (4.39)
Diámetro exterior : D
e
= D
p
+2a = z.M + 2M = M(z + 2) (4.40)
Diámetro interior : D
i
= D
p
– 2d = D
p
-2´1,1666M = D
p
– 2,332M = M(z – 2,332) (4.41)
El módulo se lo puede obtener en función del diámetro exterior y del número de dientes de la (4.40)
por traspaso de términos:
Módulo :
2
z
D
M
e
(4.42)
Juego radial : J = 0,166M (4.43)
Además, de la (4.37) y de la (4.43) resulta que es:
h – J = 2M (4.44)
Sistema Fellows normalizado
Este sistema utiliza el mismo valor del ángulo de presión que el usado para el cálculo normal de
engranajes, según las fórmulas vistas anteriormente, pero variando la altura del diente.
Ángulo de presión : a = 14º30’ (4.45)
Espesor del diente : e =½ p
c
= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.46)
Altura de la cabeza del diente : a = M (4.47)
Altura del pié del diente : d =
5
/
4
M = 1,25M (4.48)
Este sistema también presenta la altura del pié del diente mayor que la altura de la cabeza para que
exista juego entre esta última y el fondo del engranaje.
Altura total del diente : h = a + d = 2,25M (4.49)
Diámetro primitivo : D
p
= z.M (4.50)
Diámetro exterior : D
e
= D
p
+2a = z.M + 2M = M(z + 2) (4.51)
Diámetro interior : D
i
= D
p
– 2d = D
p
-2´1,25M = z.M – 2,5M = M(z – 2,5)
(4.52)
El módulo M se lo puede obtener de la (4.51) en función del diámetro exterior y el número de
dientes, por traspaso de términos:
Módulo :
2
z
D
M
e
(4.53)
Juego radial : J = 0,25M (4.54)
Además de la (4.49) y de la (4.54) resulta ser:
h – J = 2M (4.55)
Sistema Stub de dientes acortados (sin puntas)
Este sistema, que fue utilizado por primera vez por la firma Fellows Shaper Co., y se aplica para
darle menor altura al diente que uno normal, con lo que se logra su mayor robustez, fortaleciéndolo
mayormente en su raíz. Utiliza dos módulos, uno mayor M
e
y otro menor inmediatamente inferior
M
h
, en la construcción del engranaje; con el primero, el mayor, se construyen el paso, los
diámetros, el espesor y número de dientes y con el segundo, el menor, solo se utiliza para
determinar la altura de los dientes, resultando un módulo compuesto.
Módulos : M
e
/M
h
(4.56)
Ángulo de presión : a = 1,57M
e
(4.57)
Espesor del diente :
1
/
2
p
c
= 1,57M
e
(4.58)
Altura de la cabeza del diente : a = M
h
(4.59)
Altura del pié del diente : d = 1,20M
h
(4.60)
La altura del pié del diente mayor que la de cabeza permite el juego radial necesario para evitar el
contacto del diente con el fondo del otro engranaje.
Altura total del diente : h = a + d = 2,20M
h
(4.61)
Diámetro primitivo : D
p
= z.M
e
(4.62)
Diámetro exterior : D
e
= D
p
+ 2a = z.M
e
+ 2M
h
(4.63)
Diámetro interior : D
i
= D
p
– 2d = D
p
- 2´1,20M
h
= zM
e
– 2,4M
h
(4.64)
Juego radial : J = 0,20M
h
(4.65)
Por la (4.61) y la (4.65) se tiene:
h – J = 2M
h
(4.66)
Ruedas dentadas interiormente
Los engranajes internos tienen los dientes tallados con la cabeza orientada hacia el interior de la
rueda, como puede observarse en la figura (Fig.4.30). La forma de los dientes es igual a la forma del
vacío de un engranaje externo y la altura de la cabeza se mide hacia el centro de la circunferencia
primitiva. El vacío del diente es igual al perfil de un diente externo. Los engranajes internos
engranan solo con piñones, o sea con engranajes externos de menor diámetro. Debe tenerse cuidado
con el largo del diente a los efectos de evitar la interferencia, motivo por el cual el número de
dientes del piñón está limitado a una cantidad inferior a la del engranaje interno, debiendo en casos
particulares proyectarse los dientes del engranaje con un trazado especial. Para el mismo número de
dientes de la rueda y el piñón, la longitud de la línea de engrane es mayor que para un engrane
externo, existiendo además un mayor número de dientes en contacto. Con un engrane interno se
obtiene el mismo sentido de rotación para ambas ruedas, por lo que se elimina el engranaje loco
utilizado en los externos para lograrlo. Debido a que la rueda menor o piñón se encuentra dentro de
la mayor de engrane interno, está limitada la relación de transmisión.
En la figura (Fig.4.30a) se observa un engrane interno con su piñón y la descripción de las
diferentes partes. La holgura de corte es utilizada para que pueda entrar y salir la herramienta y la
rebaba en el maquinado del engranaje.
En la figura (Fig.4.30b) se indican los distintos parámetros de un engranaje interno, cuyas
expresiones analíticas se muestran a continuación:
Altura de cabeza del diente : a = M (4.67)
Altura de pié del diente : d = 1,166M (4.68)
Altura total del diente : h = 2,166M (4.69)
Diámetro primitivo : D
p
= zM (4.70)
Diámetro exterior : D
e
= D
p
–2a = zM – 2M = M(z – 2) (4.71)
Diámetro interior : D
i
= D
p
– 2d = zM - 2´1,166M = M(z – 2,166) (4.72)
Juego radial : J = 0,166M (4.73)
Distancia entre ejes :
p r
p p
z z
M
d D
L
2 2
(4.74)
Siendo en la (4.74) d
p
y z
p
el diámetro primitivo y número de dientes del piñón con dientes
exteriores.
Los demás elementos de los engranajes interiores se determinan como en los engranajes dentados
exteriormente.
Cremallera
La cremallera, según se puede observar en la figura
(Fig.4.31) es un engranaje de radio infinito, por lo que
teóricamente tiene un número infinito de dientes, resultando
recto el tramo que engrana con un engranaje común de radio
finito, denominado generalmente piñón. Mientras el
engranaje cilíndrico gira sobre su eje, la cremallera tiene un
movimiento de traslación rectilíneo. Como a medida que
crece el número de dientes de un engranaje, el trazado del
perfil del diente a evolvente de círculo se vuelve más
rectilíneo, en el límite, cuando el radio se hace infinito,
como es el caso de la cremallera, este perfil se hace recto. El
ángulo de presión a puede tener una inclinación de 14,5º o
20º, pudiendo los dientes ser del sistema normal o cortos,
utilizándose además para el sistema Fellows dos módulos,
siendo el primero para obtener el diámetro primitivo y el
espesor del diente, y el segundo para el largo del diente. El
flanco del diente está inclinado un ángulo a respecto al eje de simetría del mismo. La cremallera y
el engranaje cilíndrico que engrana entre sí deben tener el mismo módulo.
Para una cremallera normal que engrana con un piñón de z dientes se tiene:
Diámetro primitivo : D
p
= zM (4.75)
Altura de cabeza del diente : a = M (4.76)
Altura del pié del diente : d = 1,166M (4.77)
Paso circunferencial : p
c
= M (4.78)
Espesor del diente : e =
2
c
p
(4.79)
Juego radial : J
r
= 0,166M (4.80)
Cálculo de la resistencia del diente (dimensionamiento)
Es importante dimensionar correctamente el diente a los efectos de lograr la resistencia adecuada
del mismo. A los efectos de calcular los esfuerzos a que están sometidos los dientes que están
interactuando en un engrane, se deben tener en cuenta diversos factores como son principalmente la
cantidad de dientes en contacto simultáneos, la variación de la carga en magnitud y dirección
durante el tiempo en que están en contacto, a las cargas de choques de los dientes por
imperfecciones constructivas, concentración de esfuerzos en la base del diente, desgaste del diente,
la geometría propia del diente, etc. Es decir que el diente experimenta esfuerzos dinámicos y cargas
de desgaste.
En principio la resistencia del engranaje se calcula suponiendo al diente como si fuera una viga en
voladizo, basado en la resistencia a la rotura del material sometido al esfuerzo que genera la
potencia transmitida. Al respecto se aplican distintas hipótesis de cálculo, siendo alguna de ellas las
siguientes:
Primera hipótesis : considera que la fuerza a la cual está sometido el diente es tangencial, que la
misma es resistida por un solo diente y está aplicada en la circunferencia exterior sobre la cabeza
del diente.
En realidad la fuerza F
n
que actúa sobre el diente tiene la dirección de la recta de presión, estando la
fuerza tangencial F
t
dada por la expresión (4.31a):
F
t
= F
n
cosa (4.31a)
De la (4.31a) se obtiene:
a cos
t
n
F
F
(4.81)
Por lo general la fuerza que actúa sobre un engranaje es resistida por dos y hasta tres dientes, lo que
compensa la utilización de la fuerza tangencial F
t
menor que la F
n.
La fuerza F
t
, figura (Fig.4.32a) produce un momento flector dado por la
expresión:
M
f
= F
t
.h (4.82)
La sección resistente W en la base del diente (Fig.4.32b) es:
6
.
2
e b
W
(4.83)
El momento flector M
f
en función de la resistencia unitaria a la flexión
s
f
del material y de la sección resistente W es:
M
f
= W. s
f
(4.84)
De las expresiones (4.82), (4.83) y (4.84) se obtiene:
f t
e b
h F s
6
.
.
2
(4.85)
Los valores de e, b y h se pueden poner en función del paso circunferencial, considerando la
expresión (4.6) y que en la práctica es e< e se tendrá:
e
p
c
2
< e (4.86)
Por lo que la (4.86) puede escribirse de la siguiente forma:
e = c.p
c
(4.87)
Si se adopta c = 0,52 se tendrá:
a) e = 0,52p
c
de donde es b) e
2
= 0,27
2
c
p
(4.88)
Así también el espesor b del diente puede escribirse:
b = S.p
c
(4.89)
En la (4.89) se toma S =2 para dientes en bruto; S = 2 a 3 para ruedas de transmisión común; S
hasta 5 para transmitir fuerzas considerables.
La altura h del diente se toma:
c
p
h 2 , 2
(4.90)
De la (4.1) se tiene:
a)
z
R
p
c
2
Þ b)
2
z p
R
c
(4.91)
Si se sustituyen los valores de e
2
, b y h dados por las (4.88b), (4.89) y (4.90) respectivamente en la
expresión (4.85) se obtiene:
f c c
c
t
p p S
p
F s
2
27 , 0 . .
6
1
2 , 2 .
(4.92)
Multiplicando ambos miembro de la (4.92) por la (4.91b) operando y despejando p
c
3
, resulta:
f
t
f
t
c
zS
R F
zS
R F
p
s s
100 7 , 97
3
(4.93)
Despejando p
c
de la (4.93) se tiene:
3 3 64 , 4
100
f
t
f
t
c
zS
R F
zS
R F
p
s s
(4.94)
Como es el módulo, por la (4.4)
c
p
M
, la (4.94) puede escribirse:
3 47 , 1
f
t
zS
R F
M
s
(4.95)
Segunda hipótesis : para este caso también se supone que la relación de contacto es mayor que la
unidad y por lo menos dos dientes participan de la transmisión de la fuerza o potencia. En este caso
la carga se considera aplicada en la generatriz primitiva. Usando el mismo razonamiento anterior se
tiene que el momento aplicado a la distancia d en función de la sección resistente y la resistencia
unitaria a la flexión del material del diente es:
f t
b e
d F s
6
2
(4.96)
De acuerdo a las proporciones del diente, según la (4.37) se tiene:
c
p
d
6
7
(4.97)
Multiplicando ambos miembros de la (4.96) por la expresión (4.91b) y
reemplazando en la misma los valores de e, b y d dadas por las expresiones
(4.88b), (4.89) y (4.97) respectivamente, y operando, se obtiene:
f
t
c
z S
R F
p
s
85 , 51
3
(4.98)
Extrayendo la raíz cúbica de la (4.98) se obtiene el paso circunferencial en función de la fuerza que
actúa tangencialmente sobre el diente sobre la generatriz primitiva, de las dimensiones de este
último y de la resistencia del material con que está construido:
3 3 72 , 3 85 , 51
f
t
f
t
c
z S
R F
z S
R F
p
s s
(4.99)
En función del módulo M, la (4.99) resulta:
3 19 , 1
f
t
z S
R F
M
s
(4.100)
Fórmula de Lewis
La expresión propuesta por Wilfred Lewis en 1892 supone que un solo par de dientes resiste la
fuerza a transmitir, la cual está aplicada en una arista del diente sobre la generatriz exterior del
engranaje siguiendo la línea de presión, y dentro del diente se aplica sobre el eje de simetría de éste
en el extremo superior del contorno de la viga en voladizo de
igual resistencia de forma parabólica, cuya base tiene el mismo
ancho que la base del diente, que es la que resiste la fuerza
aplicada. Introduce un factor de forma, denominado y o Y que
tiene en cuenta la geometría y proporciones del diente.
Se considera, según muestra la figura (Fig.4.34), la fuerza F
n
aplicada en el extremo superior B de la viga de igual resistencia
de forma parabólica, siendo esta última tangente en V y E a la
base del diente. La fuerza F
n
se puede descomponer en una
fuerza radial F
r
de compresión, que para este caso no es tenida
en cuenta y en una fuerza tangencial F
t
aplicada sobre el diente a
la distancia h, designándose en este caso con dicha letra a la
altura de la viga de igual resistencia; la fuerza F
t
produce un
momento flector M
f
, máximo en los puntos V o E, el cual estará
dado por la expresión:
M
f
= F
t
h = Ws
f
(4.101)
Teniendo en cuenta la (4.83) que nos da la sección resistente W, la (4.101) se escribe:
f t
b e
h F s
6
2
(4.102)
Si se multiplica m. a m. La (4.102) por el paso circunferencial p
c
y se despeja F
t
se obtiene:
c f
c
t
p b
h p
e
F s
2
6
1
(4.103)
El factor de forma y de Lewis es:
c
p h
e
y
6
2
(4.104)
Por lo tanto la (4.103) quedará:
F
t
= ybs
f
p
c
(4.105)
Para obtener en función del módulo M se dividen ambos miembros de la (4.105) por y se obtiene
el factor de forma Y:
s
c f
t
p yb
F
(4.106)
Recordando que es, según la (4.4)
c
p
M
(4.4)
Y haciendo:
Y = y (4.107)
Reemplazando en la (4.106) estos valores, según la (4.4) y la (4.107) se obtiene:
F
t
= Y bs
f
M (4.108)
Existen tablas, como la que se muestra a continuación, que dan el valor del factor de forma o de
Lewis “y” para distintos valores del ángulo de presión y del tipo de diente.
Nº de
diente
s
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
10
11
12
13
14
0,056
0,061
0,067
0,071
0,075
0,064
0,072
0,078
0,083
0,088
0,083
0,092
0,099
0,103
0,108
19
20
21
23
25
0,088
0,090
0,092
0,094
0,097
0,100
0,102
0,104
0,106
0,108
0,123
0,125
0,127
0,130
0,133
43
50
60
75
100
0,108
0,110
0,113
0,115
0,117
0,126
0,130
0,134
0,138
0,142
0,147
0,151
0,154
0,158
0,161
Nº de
diente
s
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
15
16
17
18
0,078
0,081
0,084
0,086
0,092
0,094
0,096
0,098
0,111
0,115
0,117
0,120
27
30
34
38
0,099
0,101
0,104
0,106
0,111
0,114
0,118
0,122
0,136
0,139
0,142
0,145
150
300
Crem.
0,119
0,122
0,124
0,146
0,150
0,154
0,165
0,170
0,175
Fórmula de Lewis-Barth
Por las imperfecciones constructivas y de montajes de los engranajes, y debido a las fuerzas
inerciales de las masas que se encuentran en movimiento, existen fuerzas dinámicas que actúan
sobre los dientes, y si bien las mismas, a medida que aumenta la calidad constructiva y de montaje
de los engranajes van perdiendo importancia, siempre tienen influencia.
Barth considera estos esfuerzos dinámicos debido los impactos por aceleraciones bruscas,
deformaciones y separaciones de los engranajes y afecta la fórmula de Lewis por un factor que varía
en función de la velocidad, resultando F
d
= F
t
.f(V), por lo que la fuerza actuante estará dada, según
la velocidad de trabajo y la calidad de ejecución, por las siguientes expresiones:
- Para tallado comercial y V£ 610 m/min:
t d
F
V
F
183
183
(4.109)
- Para tallado cuidadoso y 305m/min < V < 1220 m/min:
t d
F
V
F
366
366
(4.110)
- Para tallado de precisión y V < 1220 m/min:
t d
F
V
F
43
43
(4.111)
Fórmula de Buckingham
Buckingham también consideró las cargas dinámicas a las que estaban expuestos los engranajes,
realizando estudios sobre la influencia de los distintos factores a los que estaban expuestos, según el
tipo de servicio, error de tallado, deformación de los dientes bajo carga, las que originan fuerzas
inerciales y de impacto sobre los dientes con efectos similares a los de una carga variable
superpuesta a una carga constante. Para tener en cuenta estos factores, adiciona a la fuerza constante
F
t
resultante de la potencia transmitida por el engranaje, un término adicional F
i
, por lo que se
obtiene la expresión de la fuerza máxima total instantánea F
d
que se ejerce sobre el diente:
t
t
t i t d
F Cb V
F Cb V
F F F F
113 , 0
113 , 0
(4.112)
En la (4.112), F
d
es la fuerza total aplicada sobre el diente, F
t
es la fuerza tangencial necesaria para
transmitir la potencia, F
i
es la fuerza adicional variable que tiene en cuenta las fuerzas dinámicas y
C es un coeficiente dinámico que se obtiene en función del módulo, del error permisible de tallado y
de la forma del diente y su material de construcción, el cual se encuentra tabulado.
Existen tablas que dan los máximos errores permitidos en el tallado de engranajes en función de sus
pasos diametrales o módulo y según la clase de tallado del mismo de acuerdo a la velocidad de
trabajo, las que se clasifican como:
- Clase 1, engranajes industriales tallados con fresas de formas.
- Clase 2, engranajes tallados con gran cuidado.
- Clase 3, engranajes tallados y rectificados muy exactamente.
Para conocer el error permitido en función de la velocidad tangencial de la
circunferencia primitiva se han construido gráficos, uno de los cuales puede
observarse en la figura (Fig.4.35). Conociendo el error de tallado del diente, el
cual se obtiene de tablas, se obtiene el valor de C, también de tablas, como las
que se transcriben a continuación:
Máximo error permitido, en cm, en engranajes
Paso diametral Módulo
Mm
Clase 1
industrial
Clase 2
exacto
Clase 3
preciso
1
2
3
4
5
6 y más finos
25,2
12,7
8,5
6,35
5,08
4,25
0,012192
0,010160
0,008128
0,006604
0,005588
0,005080
0,006096
0,005080
0,004064
0,003302
0,002794
0,002540
0,003048
0,002540
0,002032
0,001778
0,001524
0,001270
Valores del factor dinámico C (kg/cm
2
)
Materiales de los engranjes Forma
del
diente
Errores en los engranjes (cm)
0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,01270
Fundición de hierro y
fundición de hierro..........
Fundición de hierro y
acero.................................
14
1
/
2
º
14
1
/
2
º
71,4
98,2
142,9
196,5
285,8
392,9
428,6
589,4
571,5
785,8
714,4
982,0
Acero y acero........
Fundición de hierro y
fundición de hierro.........
14
1
/
2
º
20º, altura
total
142,9
74,1
285,8
148,2
571,5
296,5
857,3
444,7
1143,0
592,9
1428,8
741,2
Valores del factor dinámico C (kg/cm
2
) (Continuación)
Materiales de los
engranjes
Forma
del
diente
Errores en los engranjes (cm)
0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,0127
Acero y acero...............
Fundición de hierro y
fundición de hierro..........
Fundición de hierro y
acero.................................
Acero y acero...................
20º, altura
to tal
20º corto
20º corto
20º corto
148,2
76,8
105,4
153,6
296,5
153,6
210,7
307,2
592,9
307,2
421,5
614,4
889,4
460,8
632,2
921,6
1185,9
614,4
843,0
1228,8
1482,4
768,0
1053,7
1536,0
En función del tiempo de trabajo, la fuerza tangencial F
t
será afectada de un factor de servicio, el
cual, de acuerdo a la experiencia se encuentra en tablas como la siguiente:
Factores de servicio
Tipo de carga Tipo de servicio
8 a 10 horas por día 24 horas por día Intermitente 3 hs por día
Estable..................
Choque pequeño...
Choque mediano...
Choque severo......
1,00
0,80
0,65
0,55
0,80
0,65
0,55
0,50
1,25
1,00
0,80
0,65
Concentración de tensiones
Debido a que, en el entalle de la unión de la raíz del diente con la llanta, existe
concentración de tensiones, que dependen del material del engranaje, del espesor
del diente en la raíz, de la posición de la fuerza sobre el diente, del radio de entalle
o acordamiento y del ángulo de presión, hace que la tensión real a la cual está
sometido el material sea mayor que la que resulta de considerar las fuerzas
estáticas y dinámicas.
Si se considera que la fuerza F
n
que soporta el diente se descompone, según se
indica en la figura (Fig.4.36), en las fuerzas F
t
y F
r
tangencial y radial
respectivamente, aparecerán en los puntos V y E tensiones debido tanto al
momento flector que produce la fuerza F
t
como a la compresión que produce la fuerza F
r
,
dependiendo el valor de estas tensiones del momento de inercia I de la sección e’b en la raíz del
diente, de la compresión F
r
/e’b y del momento flector M
f
, las cuales tendrán una forma similar a las
que se muestran en la figura (Fig.4.37), correspondiendo
I
M
f
f
s
(4.113)
para la tensión unitaria a la flexión debida al momento flector F
t
.h,y
b e
F
r
c
s
(4.114)
la tensión unitaria a la compresión debida a la fuerza F
r
.
Para contrarrestar los efectos de éstas tensiones, se incrementa la fuerza F
d
dada por la (4.112), con
un coeficiente q, de tal forma que el esfuerzo unitario de trabajo a la flexión s
d
resulte menor que el
esfuerzo unitario a la fatiga alternativa s
a
:
a
c
d
d
p y b
F
s
q
s £
(4.115)
El coeficiente q de concentración de tensiones está dado por las siguientes expresiones:
4 , 0 2 , 0
. 22 , 0
h
e
r
e
q
para a = 14º30’ (4.116)
45 , 0 15 , 0
. 18 , 0
h
e
r
e
q
para a = 20º (4.117)
Cálculo por desgaste de un engranaje
El desgaste en un engranaje depende del material del mismo, de la forma del perfil del diente, del
acabado superficial, de la lubricación y de la mayor o menor fuerza de roce entre las superficies de
los dientes. Se producen cavidades por el escoriado del material por falla por fatiga y la
acumulación de material debido al material blando arrastrado. Por lo tanto el esfuerzo límite por
desgaste está determinado por el límite de fatiga del material, por la forma del perfil del diente y por
la dureza relativa de las superficies en contacto. Cuando dos ruedas que engranan son de materiales
diferentes, el más duro de ellos producirá un endurecimiento mecánico en el más blando,
incrementando su límite de fatiga, que para los aceros parece aumentar en proporción directa con la
dureza Brinell. El piñón debe ser siempre más duro, para permitir el endurecimiento mecánico de la
rueda, para preservar el perfil de evolvente, para permitir el mayor desgaste abrasivo en el piñón, y
para disminuir la posibilidad de engranamiento.
Buckingham expresa el esfuerzo límite al desgaste por la ecuación:
r p r p
r
fs p
w
E E z z
z
sen b d
F
1 1 2
4 , 1
s
(4.118)
superficial, z
p
número de dientes del piñón, z
r
número de dientes de la rueda, E
p
módulo de
elasticidad del material del piñón y E
r
módulo de elasticidad del material de la rueda.
En la tabla siguiente se dan valores de fatiga para algunos materiales de engranajes.
Límites de fatiga para materiales de engranajes
Materiales Número de
dureza
Brinell
Límite de
fatiga
alternativa
s
fa
(kg/cm
2
)
Límite de
fatiga
superficial
s
fs
(kg/cm
2
)
Fundición gris de hierro……………………..................
Semiacero........................................................................
Bronce fosforoso.............................................................
160
200
100
840
1260
1680
6300
6300
6300
Acero................................................................................
Para acero: .....................................................................
s
fa
= 17,5 ´ Número Brinell .........................................
Para número Brinell 400 ...............................................
Y para mayores usar:.......................................................
s
fa
=7000 ........................................................................
s
fs
= 28 ´ Número
Brinell...............................................
¾ 700 ............................................................
150
200
240
250
280
300
320
350
360
400
450
500
550
600
2520
3500
4200
4340
4900
5250
5600
5950
6300
7000
3500
4900
6020
6300
7140
7700
8260
9100
9380
10500
11900
13300
14700
16100
Para evitar el pronto desgaste del material del engranaje, sin disminuir su elasticidad
y tenacidad, a los efectos de que no presenten fragilidad cuando trabajan y no sufran
desgastes prematuros, se realiza un tratamiento de endurecimiento superficial de los
mismos, ya sea mediante el cementado u otro método, logrando una profundidad de
penetración adecuado con lo que se obtiene una superficie de elevada resistencia al
desgaste sin variar las otras propiedades del material. En la figura (Fig.4.38) se
observa la profundidad pp de penetración del cementado.
Engranajes helicoidales. Características generales
Las ruedas cilíndricas con dientes helicoidales, las que se muestran en la figura (Fig.4.39a), tienen
los dientes formando una hélice inclinada un ánguloa más o menos pronunciado, alrededor del eje
de giro, siendo el perfil de los mismos originados por una curva evolvente helicoidal. En el engrane
helicoidal, el contacto de los dientes es gradual, efectuándose en primer lugar en un punto,
haciéndolo con los otros a medida que gira, hasta cubrir una diagonal sobre todo el ancho del
diente. Este hecho reduce el ruido y las cargas dinámicas, lo que representa una mejora en el trabajo
de engrane, ya que de este modo la presión transmitida resulta aplicada de manera continua y
progresiva, permitiendo la transmisión de mayores potencias puesto que aumentan la fuerza y la
velocidad transmitidas. Además es posible obtener piñones de menor número de dientes que en las
ruedas de dientes rectos, lográndose una relación de transmisión más elevada.
Tienen el inconveniente de que la fuerza tangencial que transmiten se
descompone en dos direcciones, una normal y otra axial, por lo tanto se
produce mayores pérdidas por rozamiento en los cojinetes, sufriendo un
desgaste más rápido en el flanco de los dientes, pues el contacto y
resbalamiento es más prolongado. Este inconveniente se subsana adoptando
doble fila de dientes y aún tres filas con hélices inclinadas el mismo ángulo,
pero dispuestas en sentido contrario, constituyendo los engranajes doble
helicoidal o chevron, según se mostrara en la figura (Fig.4.8) y se muestran
nuevamente en las figuras (Fig.4.39b) y (Fig.4.39c) respectivamente . De esta
manera los empujes axiales se anulan entre sí. El valor del ángulo a de
inclinación de los dientes respecto del plano frontal de las ruedas toma valores
desde 10º variando el mismo según el uso del engranaje. Para ruedas que trabajan a gran velocidad
es a = 45º.
Los engranajes helicoidales se utilizan para altas velocidades, considerándose como tales cuando la
velocidad tangencial supera los 25 m/s o el piñón gira a más de 3600 rpm, para la transmisión de
grandes potencias. Además se utilizan estos tipos de engranajes cuando se necesita un
funcionamiento silencioso.
Clasificación
Como ya se indicara en las figuras (Fig.4.7), (Fig.4.8), (Fig.4.12) y (Fig.4.13), existen tres clases de
engranajes cilíndricos helicoidales, los cuales se detallan nuevamente en la figura (Fig.4.40),
engranajes a ejes paralelos (Fig.4.40a), a ejes oblicuos (Fig.4.40b) y a ejes
perpendiculares (Fig.4.40c). Los dos últimos se denominan a ejes cruzados, y solo
se utilizan para la transmisión de pequeños esfuerzos.
Engranajes cilíndricos helicoidales a ejes paralelos. Empuje axial
Estos son los engranajes helicoidales más comunes. En la figura (Fig.4.41) se
observa la fuerza F que actúa sobre el plano de la circunferencia primitiva en el
centro de la cara del diente, siendo su línea de acción la línea de presión normal al diente inclinada
el ángulo normal f
n
. La proyección de F sobre el plano de rotación ABB’A’ da el ángulo de presión
f transversal. La proyección de F sobre el plano ACC’A’ tangente al cilindro primitivo está
inclinada el ángulo a y es la componente F
n
de dicha fuerza sobre el mismo.
La relación que existe entre f
n
y f se la puede obtener del análisis de la figura de la siguiente forma:
A C
AB
A C
CD
tg
n
f
(4.119)
Pero es:
AB = tgf.AA’ (4.120)
Y
a cos
A A
A C
(4.121)
Reemplazando en la (4.119) los valores de AB y CA’ dadas por las (4.120) y (4.121)
respectivamente se obtiene:
tgf
n
= tgf cosa (4.122)
La fuerza F, en el funcionamiento produce una fuerza de rozamiento sobre el diente, cuyo valor está
dado por la expresión:
F
Roz
= Fm
1
(4.123)
Las componentes de la fuerza F son las fuerzas F
t
tangencial, F
r
radial y F
a
axial. Del análisis de la
figura (Fig.4.41), los valores de estas tres últimas fuerzas en función de la fuerza F resultan:
F
t
= Fcosf
n
cosa (4.124)
F
r
= Fsenf
n
(4.125)
F
a
= Fcosf
n
sena (4.126)
En los engranajes helicoidales es importante conocer el valor del empuje axial para
calcular o seleccionar el cojinete axial. Como lo que generalmente se conoce es el valor
de la fuerza tangencial F
t
a transmitir deducida de la potencia necesaria demandada, el
empuje axial se obtiene a partir del valor de la fuerza periférica tangencial F
t
, de las
dimensiones del engranaje y de la velocidad angular. En la figura (Fig.4.42) se
observan las fuerzas que actúan sobre el diente, en el plano tangencial ACC’A’
tangente al cilindro primitivo y sobre el plano de rotación de la circunferencia primitiva
siendo F
n
la fuerza normal, F
a
la fuerza axial que es resistida por los órganos de
sujeción del engranaje, y F
t
la fuerza tangencial que es la que le imprime el movimiento
de rotación, siendo sus expresiones en Newton (N) en función de la potencia, según lo
visto, para N en vatios, R en m y n en rpm:
N = F
t
.v =
60
2 n R F
t
(4.127)
De la (4.127) se obtiene:
n R
N
n R
N
v
N
F
t
55 , 9
2
60
(4.128)
Resultando, de la figura (Fig.4.42):
a a cos
1
55 , 9
cos Rn
N F
F
t
n
(4.129)
Y además:
a a a
a
a tg
Rn
N
tg F sen
F
sen F F
t
t
n a
55 , 9
cos
(4.130)
O también, en kg, para N en CV, R en cm y n en rpm:
75
. v F
N
t
(4.131)
Por ser:
60
2 Rn
v
(4.132)
La (4.131) resulta:
71620
. . n R F
N
t
(4.133)
Resultando la fuerza tangencial F
t
:
Rn
N
F
t
71620
(4.134)
Y las fuerzas normal F
n
y axial F
a
:
a cos
1 71620
Rn
N
F
n
(4.135)
a tg
Rn
N
F
a
71620
(4.136)
Pasos de la hélice y del diente
Si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva de una rueda dentada helicoidal se tiene, según se
indica en la figura (Fig.4.43):
a) Paso circular de la hélice : es el desarrollo normal de la circunferencia primitiva, por lo tanto si
el diámetro primitivo es D el paso circunferencial es.
D p
c
(4.137)
b) Paso axial de la hélice : es la altura que alcanza la hélice
paralelamente al eje de la rueda:
a
a
tg
p
ctg p tg p p
c
c c a
(4.138)
c) Paso normal de la hélice : es la altura del triángulo formado por el desarrollo de la hélice y de la
circunferencia primitiva, normal a la hélice:
a cos
c n
p p
(4.139)
d) Paso circunferencial del diente : si se considera una rueda formada por z dientes y diámetro
primitivo D, el paso circunferencial p
c
del diente estará medido, según se indica en la figura
(Fig.4.44), sobre el diámetro primitivo y valdrá:
z
D
p
c
(4.140)
e) Paso normal del diente : si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva y sobre ella se trazan
tantas divisiones como número de dientes tiene la rueda, cada generatriz helicoidal correspondiente
al eje de un diente, estará separada de la anterior una distancia p
n
denominada paso normal del
diente, estando dado en función del paso circunferencial p
c
, según se puede observar en la figura
(Fig.4.44), por la expresión:
p
n
= p
c
cos a =
a
cos
z
D
(4.141)
f) Paso axial del diente : la distancia entre dos dientes consecutivos, tomada
sobre el eje de la rueda constituye el paso axial p
a
del diente, el cual en
función del paso circunferencial p
c
, es igual, de acuerdo a la figura
(Fig.4.44) a:
p
a
= p
c
ctg a =
a
a
sen z
D cos
(4.142)
Módulos
En las ruedas helicoidales, al igual que en las de dientes rectos, es conveniente operar con el
módulo. Para este tipo de engranajes existen dos módulos, el correspondiente al paso
circunferencial p
c
y al paso normal p
n
, designados de igual forma que éstos:
a) Módulo circunferencial
z
D
z
D p
M
c
c
(4.143)
b) Módulo normal
a a a
cos cos cos
z
D
M
p p
M
c
c n
n
(4.144)
Dimensiones del diente y de la rueda
Para dimensionar los dientes de un engranaje helicoidal se debe conocer la resistencia que el mismo
debe tener para soportar las solicitaciones a las cuales estará expuesto. El cálculo de esta resistencia
se hace empleando las fórmulas para engranajes cilíndricos de dientes rectos ya vistas, pero
teniendo en cuenta que el número de dientes que se debe tomar no es el del número real que tendrá
el engranaje helicoidal, si no el número virtual o formativo z
v
, el cual se define como el número de
dientes que tendría un cilindro que tuviera un radio primitivo igual al radio de curvatura en un punto
localizado en el extremo del eje menor de la elipse que se obtiene al tomar una sección del
engranaje en el plano normal, que del análisis de la figura (Fig.4.45) resulta:
El diámetro primitivo del engranaje helicoidal es D. Si se considera un plano A-A normal al eje del
diente que corta a la rueda, la sección que se obtiene es una elipse, cuyo diámetro menor es D según
muestra la figura (Fig.4.45) en el corte A-A. De la geometría analítica se conoce que el radio de
curvatura r en el extremo del semieje menor de la elipse, indicado por el punto B, vale:
a
2
cos 2
D
r
(4.145)
La forma del diente situado en B será la de un diente engendrado por una superficie de un cilindro
primitivo de radio r y el número de dientes de esta superficie se define como el número virtual o
formativo de dientes z
v
, resultando:
a
2
cos
2
n n
v
p
D
p
r
z
(4.146)
De la (4.133) se tiene que es:
a
cos
z
p
D
n
(4.147)
Reemplazando este valor dado por la (4.147) en la (4.146) se tiene finalmente:
a
3
cos
z
z
v
(4.148)
Para el cálculo la resistencia mecánica de los dientes de un engranaje helicoidal, se utiliza el
factor y para el número virtual z
v
de dientes.
La altura de los dientes es igual a la de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. Las
dimensiones del diente, como se acaba de ver, se realizan de acuerdo con el módulo normal M
n
, es
decir perpendicular a su dirección.
Ancho del diente : es igual a la diagonal A’B’ que cruza el ancho b del engranaje según muestra la
figura (Fig.4.46), formando el ángulo a con el eje de giro de la rueda, estando ambos
relacionados por la expresión:
a a cos cos
b C A lado
B A
(4.149)
Diámetro primitivo D : en la figura (Fig.4.47) se indica el diámetro primitivo D,
que de acuerdo a la (4.143) estará dado por la expresión:
a cos
n
c
c
M
z zM
z p
D
(150)
Diámetro exterior D
e
: es igual al diámetro primitivo más dos veces la altura de la
cabeza del diente. Si la altura de la cabeza del diente se toma igual a M
n
, será:
n n
n
n c n e
M
z
M
M
z M zM M D D
2
cos
2
cos
2 2
a a
(4.151)
De la (4.151) se puede deducir que el módulo normal M
n
vale:
2
cos
a
z
D
M
e
n
(4.152)
Ángulo a de la hélice sobre el cilindro primitivo que da la inclinación del diente : el valor de
este ángulo se puede obtener a partir de las expresiones ya vistas, como por ejemplo la (4.141) y la
(4.144), de donde resulta:
c
n
c
n
M
M
p
p
a cos
(4.153)
De la (4.153) se obtiene:
c
n
c
n
M
M
arc
p
p
arc cos cos a
(4.154)
Para el ángulo a se toman por lo general los valores 10º, 15º, 20º, 25º, 26º34’, 30º, 40º, 45º, 50º y
63º26’.
Par de ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos
La figura (Fig.4.48) muestra dos ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos, siendo sus
diámetros primitivos d y D para el engranaje menor y mayor respectivamente, engranando entre si
ambos engranajes, presentando sus
dientes igual ángulo a de inclinación
pero en sentido inverso.
El paso circunferencial del diente de la
rueda menor es:
d
cd
z
d
p
(4.155)
y por lo tanto su módulo:
d
cd
z
d
M
(4.156)
Para la rueda mayor el paso
circunferencial del diente es:
D
cD
z
D
p
(4.157)
y su módulo:
D
cD
z
D
M
(4.158)
Ambos pasos circunferenciales, y por lo tanto los módulos, son iguales, es decir:
a) p
cd
= p
cD
= p
c
b) M
cd
= M
cD
= M
c
(4.159)
Para ruedas con igual número de dientes (z
d
= z
D
), el paso de la hélice en el cilindro primitivo es
igual para ambos engranajes, en tanto que para ruedas con distintos números de dientes (z
d
¹ z
D
)
los pasos de las hélices son distintos.
Distancia entre centros de ejes : la distancia L entre los centros de los ejes paralelos de dos ruedas
helicoidales engranadas entre si, según muestra la figura (Fig.4.48) está dado por la siguiente
expresión:
2
D d
L
= r+R (4.160)
De las expresiones (4.140), (4.143) y (4.159) se obtiene, tanto para la rueda menor como la mayor:
a)
c
d
p
z d
= z
d
M
c
y b)
c
D
p
z D
= z
D
M
c
(4.161)
Y de las expresiones (4.141) y (4.144) se obtiene:
a)
a cos
n
c
p
p
y b)
a cos
n
c
M
M
(4.162)
Por lo tanto la (4.160) puede escribirse, reemplazando en ella los valores de d y D dados por la
(4.161) y teniendo en cuenta además las (4.162):
D d
n
D d
c
D d
n
D d
c
z z
M
z z
M
z z
p
z z
p
L
a a cos 2 2 cos 2 2
(4.163)
La relación de transmisión se obtiene de igual forma que para los engranajes rectos.
Engranajes cónicos con dientes rectos y ejes a 90º
Los engranajes cónicos, los cuales se han mostrado en las figuras (4.9) y (4.10), presentan la
particularidad de que la prolongación de sus ejes se cortan entre sí, pudiendo hacerlo, según ya se
mostrara en la figura (Fig.4.11), con un ángulo a mayor, menor o igual a 90º. Estos engranajes
reemplazan a los conos de fricción que transmiten el movimiento de rotación alrededor de sus
ejes a otros conos por fricción, los cuales se muestran en la figura (Fig.4.49), constituyendo estos
últimos los conos primitivos de los engranajes cónicos, sobre los cuales se realiza el contacto
entre dos engranajes cónicos que engranan entre sí. Los dientes de estos engranajes pueden ser
rectos o helicoidales, en este último caso en arco o en espiral. Se analizarán únicamente lo
engranajes cónicos de dientes rectos, debiendo el estudiante recurrir a bibliografía específica en
caso de que sea de interés su conocimiento.
Para lo engranajes cónicos de dientes rectos, sus dientes se
disponen siguiendo las generatrices de los conos primitivos. La
parte del diente que se halla fuera del cono primitivo se
denomina cabeza y la que está en su interior raíz del mismo. Al
engranaje de menor diámetro también se lo denomina piñón.
En la figura (Fig.4.50) se muestran dos engranajes cónicos que
están engranando entre sí, indicándose sus distintas partes, las
cuales se describen a continuación.
Las circunferencias primitivas son las circunferencias mayores
de los conos primitivos, siendo sus diámetros primitivos D
R
y
D
P
. El módulo y el paso circunferencial se determinan por el
número de dientes en relación con el diámetro primitivo. Las
generatrices de los conos primitivos y las de cabezas y raíces de
los dientes convergen al mismo punto O. Los dientes
disminuyen progresivamente desde su parte exterior, lugar
donde tienen su origen todas las medidas referidas al diente y a
los diámetros principales, hacia el centro donde convergen los
ejes y las líneas de los flancos del diente prolongadas.
Además de las denominaciones conocidas de los parámetros de los engranajes rectos y que también
se emplean en los cónicos, éstos debido a la conicidad que tienen y a la serie de ángulos que
aparecen por este motivo, presentan otros con las siguientes denominaciones: ángulo primitivo g
R
de la rueda mayor; ángulo primitivo g
P
de la rueda menor; ángulo exterior
R
o de torno de la rueda
mayor; ángulo exterior
P
o de torno de la rueda menor; ángulo de fondo f
R
de la rueda mayor;
ángulo de fondo f
P
de la rueda menor; ángulo d de cabeza del diente ; ángulo e de raíz del diente ;
longitud b del diente ; longitud L de la generatriz tomada desde el cono primitivo; distancia H
R
y H
P
desde la circunferencia mayor de cabeza al punto de convergencia de los ejes de la rueda mayor y
menor respectivamente, utilizada para comprobación; ángulo complementario y
R
de la rueda
mayor; ángulo complementario y
P
de la rueda menor.
Para obtener los distintos parámetros de los engranajes cónicos se utilizan similares expresiones a
las ya vistas para los engranajes cilíndricos, teniéndose en cuenta la influencia de los ángulos que
determinan las dimensiones del diente. Así para un módulo M se tendrá:
- Paso circunferencial p = M (4.164)
- Altura del diente h = 2,16M (4.165)
- Altura de cabeza a = M (4.166)
- Altura de raíz d = 1,16M (4.167)
- Espesor del diente e = 1,57M (4.168)
La longitud L de la generatriz del cono primitivo es la misma tanto para la rueda mayor como para
la menor (piñón) ya que sus diámetros primitivos, sea cualquiera la relación en que estén al
engranar, se encuentran a la misma distancia del centro donde convergen las prolongaciones de los
ejes y los flancos de los dientes.
Se pueden escribir las distintas expresiones, tanto para la rueda como para el piñón, que relacionan
los parámetros de los engranajes unos en función de los otros, como son módulo, diámetros
primitivos, números de dientes, etc.
Engranaje mayor
- Diámetro exterior: D
ER
= (2 sen g
P
+ z
R
)M = D
R
+2M cos g
R
(4.169)
- Módulo
R
R
z
D
M
(4.170)
O también, teniendo en cuenta la (4.169):
R P
ER
z sen
D
M
g 2
(4.171)
- Ángulo primitivo: tg g
R
=
P
R
P
R
z
z
D
D
(4.172)
También por diferencia se obtiene: g
R
= 90º- g
P
(4.173)
- Ángulo de cabeza del diente:
R
R
z
sen
L
M
tg
g
d
2
(4.174)
- Ángulo exterior:
R
= g
R
+ d (4.175)
- Ángulo de fondo: f
R
= g
R
+ e (4.176)
- Ángulo de raíz:
d e tg
L
M
tg 16 , 1
16 , 1
(4.177)
- Ángulo complementario: y
R
= 90º - g
R
(4.178)
- Longitud de la generatriz del cono primitivo:
M
sen
z
sen
D
L
R
R
R
R
g g 2 2
(4.179)
- Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:
R
P
R
sen M
D
H g
2
(4.180)
Engranaje menor o piñón
- Diámetro exterior: D
EP
= (2 sen g
R
+ z
P
)M = D
P
+2M cos g
P
(4.181)
- Módulo
P
P
z
D
M
(4.182)
O también, teniendo en cuenta la (4.181):
P R
EP
z sen
D
M
g 2
(4.182)
- Ángulo primitivo: tg g
P
=
R
P
R
P
z
z
D
D
(4.183)
También por diferencia se obtiene: g
P
= 90º- g
R
(4.184)
- Ángulo exterior:
P
= g
P
+ d (4.185)
- Ángulo de fondo: f
P
= g
P
- e
(4.186)
- Ángulo complementario: y
P
= 90º - g
P
(4.187)
- Longitud de la generatriz del cono primitivo:
M
sen
z
sen
D
L
P
P
P
P
g g 2 2
(4.188)
- Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:
P
R
P
sen M
D
H g
2
(4.189)
La longitud b del diente debe ser igual o menor que
1
/
3
L o de 6M a 10M.
Dimensiones del diente
En todos los cálculos de resistencia de los engranajes cónicos se utiliza el número virtual de dientes
z
v
, siendo éste el número de dientes que tendría un engranaje cilíndrico de dientes rectos cuyo radio
primitivo es igual al radio r del cono complementario, el cual se indica en la figura (Fig.4.50). La
relación que liga al número real de dientes z del engranaje cónico con el número virtual de dientes z
v
del engranaje cilíndrico está dada por la expresión:
g cos
z
z
v
(4.190)
Siendo en la (4.190) g el ángulo del cono primitivo.
Para dimensionar el diente se debe conocer la resistencia que debe presentar cuando es solicitado
por la fuerza actuante F
t
sobre él. Si bien se puede utilizar la expresión (4.105) dada por Lewis,
debido a que el tamaño del diente al igual que la fuerza que actúa sobre el flanco varían a lo largo
del diente, se la debe modificar para engranajes cónicos.
La figura (Fig.4.51) representa la parte superior del diente y un elemento de longitud diferencial dl
del mismo a la distancia l del vértice O del cono primitivo, sobre el cual se considera que actúa la
fuerza dF de intensidad constante, siendo p
l
el paso circunferencial del engranaje a esta distancia.
La expresión de Lewis para este elemento del diente de longitud dl sobre el cual actúa la fuerza dF
y cuyo paso circunferencial es p
l
, para una tensión s
t
de trabajo, se puede escribir:
dF = s
t
p
l
y dl (4.191)
El momento torsor respecto del eje del engranaje es:
dF.r = s
t
p
l
y dl r (4.192)
El espesor del diente, el paso circunferencial y el radio r en cualquier punto, son proporcionales a
la distancia desde el vértice del cono primitivo, es decir:
L
l R
r
L
R
l
r
Þ
(4.193)
y
L
l p
p
L
p
l
p
c
l
c l
Þ
(4.194)
Reemplazando en la (4.192) la expresión de r y de p
l
dadas por la (4.193) y (4.194) respectivamente
se obtiene:
dl
L
l
y p R dl y
L
l p
L
l R
dF
c t
c
t
2
s s
(4.195)
La expresión (4.195) se puede integrar para r variando de 0 a R y l variando entre L y L – b,
obteniéndose:
2
2
2
2
3
1 .
L
b
L
b
y b p R dl l
L
y p R
R F M
c t
L
b L
c t
t t
s
s
(4.196)
Despejando de la (4.196) la fuerza F
t
se obtiene:
2
2
3
1
L
b
L
b
y p b F
c r t
s
(4.197)
Como el valor de b como máximo alcanzan la longitud de
1
/
3
L, el término b
2
/3L
2
se hace igual a
1/27 que se puede despreciar sin introducir un error apreciable, por lo que la (4.197) se puede
escribir:
L
b L
bY
L
b L
y p b F
t c t t
s s
(4.198)
Siendo p
c
el paso circunferencial en la extremidad mayor, M el módulo en a extremidad mayor, y e
Y factor de forma correspondiente al número virtual z
v
de dientes, según se utilice para el cálculo p
c
o M respectivamente y F
t
la fuerza tangencial equivalente en la extremidad mayor
La generatriz L del cono primitivo, siendo R
R
el radio primitivo de la rueda mayor y R
P
el radio
primitivo de la rueda menor (piñón), vale:
2 2
P R
R R L
(4.199)
La tensión de trabajo s
t
se utiliza teniendo en cuenta la tensión admisible s
adm
afectada de los
factores de velocidad
v
y de servicio
s
:
s
t
=
v
.
s
s
adm
(4.200)
El factor de velocidad
v
es el dado por los factores que afectan las fuerzas del segundo miembro de
las expresiones ya vistas (4.109), (4.110) y (4.111) y el factor de servicio
s
se lo obtiene de la tabla
también ya vista en engranajes cilíndricos de dientes rectos.
La velocidad que se utiliza para los cálculos y dimensionamiento es la velocidad de la extremidad
mayor y los factores de forma y e Y se los obtiene de tablas de bibliografía especializada. Las cargas
dinámicas y de desgaste se las obtienen con las mismas expresiones usadas para los engranajes
cilíndricos pero tomando el número virtual z
v
de dientes y la velocidad de la circunferencia
primitiva de la extremidad mayor, y la fuerza F
t
como el esfuerzo tangencial equivalente a esta
velocidad.
Tornillo sinfin y rueda helicoidal
Características : Este mecanismo sirve para transmitir el movimiento entre ejes que forman en el
espacio un ángulo cualquiera. El caso más común es cuando los ejes se cruzan en ángulo recto.
Es utilizado cuando se exige una gran reducción de velocidad en un espacio limitado y una marcha
silenciosa. En la figura (Fig.4.14) se han mostrado los distintos casos que se pueden presentar,
según sea el tipo del perfil de los dientes, tanto de la rueda como el del tornillo sinfín, los que
podían ser: a) tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil cilíndrico, b) tornillo sinfín de perfil
cilíndrico y rueda helicoidal perfil globoide (axoide), siendo éste el de uso más generalizado y c)
tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil globoide.
En la figura (4.52) se pueden observar los distintos elementos que conforman el par tornillo sinfín –
rueda helicoidal, siendo éstos, según se indica en la figura, los siguientes:
- L: longitud del tornillo sinfín.
- p
t
: paso axial entre filetes del tornillo.
- a: altura de cabeza (adendo) del filete.
- d: altura de raíz (dedendo) del filete.
- h: altura total del filete.
- a: ángulo de avance del tornillo.
- d
i
: diámetro interior o de raíz del tornillo.
- d
p
: diámetro primitivo del tornillo.
- d
e
: diámetro exterior del tornillo.
- p
cr
: paso circunferencial de la rueda.
- D
i
: diámetro interior de la rueda.
- D
p
: diámetro primitivo de la rueda.
- D
t
: diámetro de garganta de la rueda.
- D
e
: diámetro exterior de la rueda.
- b : ancho axial de la rueda.
- : ángulo de la cara de la rueda.
Relación de transmisión
Para un tornillo de un filete, cuando éste da una vuelta completa, un punto
apoyado sobre el filete habrá avanzado paralelamente al eje del tornillo una
distancia igual al paso axial P
h
de la hélice, la que se muestra en la figura
(Fig.4.53b) y que resulta igual al paso axial p
t
del filete, que se muestra en la
figura (Fig.4.53a) siendo este último la distancia que existe entre dos puntos
consecutivos que ocupan igual posición en el filete, tomada en forma paralela al
eje del tornillo, lo que se pude observar en la figura (Fig.4.53a). El paso axial p
t
del tornillo sin fin es igual al paso circunferencial p
cR
de la rueda que engrana
con el tornillo. Para este caso, cuando el tornillo da una vuelta completa, la
rueda se habrá desplazado un ángulo central correspondiente a un diente. Si el
tornillo fuera de dos filetes, al dar una vuelta completa hará avanzar dos dientes
a la rueda, si tuviera tres filetes, la rueda avanzará tres dientes y así
sucesivamente. Es decir que para z
t
filetes por paso de filete, el paso axial de la
hélice, o avance del tornillo será:
P
h
= z
t
.p
t
= d
p
tga (4.201)
Si se tiene una rueda de z
R
dientes, cuyo radio primitivo es R en m, que gira a n
R
vueltas por minuto, su velocidad tangencial v
R
en m/s será:
60
2
R
R
n R
v
(4.202)
Esta rueda engrana con un tornillo sinfín de z
t
filetes, cuyo paso axial es p
t
en m, que gira a n
t
vueltas por minuto con una velocidad tangencial v
t
en m/s igual a:
60
t t t
t
n p z
v
(4.203)
Resultando:
v
R
= v
t
(4.204)
La relación de transmisión i está dada por la expresión:
) (
) sin (
rueda la de dientes de número z
fín del filetes de número z
n
n
i
R
t
t
R
(4.205)
Si se desarrolla el cilindro primitivo del tornillo según se muestra en la figura (Fig.4.53c), se
obtiene un triángulo rectángulo formado por el desarrollo del diámetro primitivo, el desarrollo de la
hélice y el paso de la hélice. Además la normal CD a AB es el paso normal P
n
de la hélice del
tornillo que se mide perpendicular al desarrollo de la hélice. Del análisis de la figura se obtiene:
- Módulo axial:
h
a
P
M
(4.206)
- Paso normal: P
n
= P
h
cos a = .d
p
sen a (4.207)
- Módulo normal:
a
sen d
P
M
p
n
n
(4.208)
- Longitud de la hélice:
a a
sen
P
d
AB
h
p
cos
(4.209)
Un tornillo sinfín puede tener más de un filete. Como se vió, para el paso axial p
t
y el número de
filetes z
t
, la (4.201) daba el paso axial de la hélice, resultando que el paso normal es:
P
n
= z
t
.p
n
(4.210)
En la figura (Fig.4.54) se representa un tornillo sinfín de dos filetes, donde el paso axial de la hélice
es igual a dos veces el paso axial entre filetes:
z
t
= 2 (4.211)
P
h
= 2 z
t
(4.212)
En la figura (Fig.4.55) se representa un tornillo
sinfín de cuatro filetes o, como también se lo
denomina comúnmente, de cuatro entradas . En
el se observa el paso axial P
h
de la hélice y el
paso axial entre filetes, siendo:
P
h
= 4p
t
(4.213)
Fórmulas de cálculos de los elementos del
tornillo sinfín y rueda
Para posibilitar el correcto engrane entre el tornillo sinfín y la rueda, sus parámetros y detalles
constructivos deben poseer para cada uno determinadas características, como además éstos deben
guardar ciertas relaciones entre ambos, las cuales se indican a continuación:
- Diámetro primitivo de la rueda: D
p
= z
R
.M
c
(4.214)
- Paso circunferencial p
cR
de la rueda:
t
R
p
cR
p
z
D
p
(4.215)
- Paso de la hélice de la rueda:
a
tg
D
P
p
hR
.
(4.216)
- Diámetro de garganta de la rueda: D
t
= D
p
+ 2M
n
(4.217)
- Diámetro exterior de la rueda:
t e
D r r D
2
cos
2
(4.218)
- Distancia entre ejes de rueda y tornillo sinfín:
p p
d D L
2
1
(4.219)
- Diámetro primitivo del tornillo sinfín: d
p
= d
e
– 2M
n
(4.220)
- Módulo circunferencial de la rueda:
a cos
n
R
p
c
M
z
D
M
(4.221)
Resistencia de los dientes : Debido a que los dientes de la rueda son más débiles por construcción
que los filetes del tornillo sinfín, la resistencia del conjunto se basa en el cálculo de los dientes de la
rueda, adecuándose la expresión de Lewis en forma similar a la vista anteriormente para engranajes
helicoidales. Pero como existe una línea de contacto entre los flancos de los filetes del tornillo
sinfín y de los dientes de la rueda, hay una mayor fuerza de rozamiento que se debe vencer, por lo
que las expresiones de la fuerza normal F que actúa, haciendo referencia a la figura (Fig.4.41) ya
vista, y considerando el coeficiente de rozamiento m entre las superficies en contacto toma la forma
siguiente en función de sus componentes axiales y normales:
- Fuerza de entrada en el tornillo sinfín:
F
e
= F(cos
n
sena + m cos a)=
tc
e
v
N
(4.222)
Donde es N
e
la potencia de entrada y v
tc
la velocidad circunferencial del tornillo sinfín.
- Fuerza de salida F
s
que actúa sobre la rueda dentada es:
F
s
= F(cos
n
cos a - m sen a)=
R
s
v
N
(4.223)
Siendo N
s
la potencia de salida y v
R
la velocidad circunferencial de la rueda dentada.
Carga de desgaste F
w
La carga de desgaste se puede obtener por la expresión propuesta por Buckingham:
F
w
= D
p
.b
R
.K’ (4.224)
Donde b
R
y D
p
son el ancho de la cara y el diámetro primitivo de la rueda respectivamente, y K’ una
constante, y que depende del tipo de material utilizado en la rueda y del ángulo de avance del
tornillo sinfín; esta constante se encuentra tabulada para distintos tipos de materiales, como la que
se muestra a continuación, para F
w
en kg, D
R
y b
R
en cm y tornillo sinfín de acero endurecido:
Material de la rueda K’
Hierro fundido o semiacero
Bronce al manganeso
Bronce al fósforo
Baquelita u otro material similar
3,5
5,6
7,0
8,8
Rendimiento
El rendimiento h del mecanismo tornillo sinfín-rueda dentada se lo obtiene considerando la
potencia de entrada y la potencia de salida:
tc n
R n
tc e
R s
v sen
v sen
v N
v N
a m a
a m a
h
cos cos
cos cos
(4.225)
Teniendo en cuenta que la velocidad circunferencial v
tc
del tornillo sinfín está dada por la expresión:
60
t p
tc
n d
v
(4.226)
Y que además es el paso circunferencial p
cR
de la rueda igual al paso axial p
t
del tornillo sinfín:
p
cR
= p
t
(4.227)
Resultando por lo tanto, por la (4.204):
60
.
60
t t t
R p
R
n p z
n D
v
(4.228)
Del cociente entre la (4.228) y la (4.226) se obtiene:
a
a
a
cos .
. sen
tg
d
P
d
p z
v
v
p
h
p
t t
tc
R
(4.229)
Reemplazando en la (4.225) el valor de v
R
/v
tc
dado por el último miembro de la (4.229), la expresión
que da el rendimiento es:
a a m a
a a m a
h
cos cos cos
cos cos
sen
sen sen
n
n
(4.230)
Operando y sustituyendo por sus funciones trigonométricas homónimas la (4.229) resulta
finalmente:
a m
a m
h
ctg
tg
n
n
cos
cos
(4.231)
El coeficiente de rozamiento m depende de la velocidad de deslizamiento v
s
entre el tornillo sinfín y
la rueda, la cual se obtiene mediante la siguiente expresión:
a cos
tc
s
v
v
(4.232)
Existen tablas que dan el valor del coeficiente de rozamiento m en función de la velocidad de
deslizamiento.
------------()--------------
Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía
TÍTULO AUTOR EDITORIAL
- Manual de Engranajes Darle W.Dudley, C.E.C.S.A.
- Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor
- Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili
- Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté
- Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili
- Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina
- Manual de Engranajes Darle W. Dudley C.E.C.S.A.
- Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill
- Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha
- Diseño de Elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas
- Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill
- Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo
- Mecánica de Taller E. Solsona Alsina
- Elementos de Máquinas Dobrovolski y otros MIR
- Diseño de Elementos de Máquinas V.M. Faires Montaner y Simón S.A.
Related papers
- Find new research papers in:
- Physics
- Chemistry
- Biology
- Health Sciences
- Ecology
- Earth Sciences
- Cognitive Science
- Mathematics
- Computer Science