Niels Henrik Abel (fæddur 5. ágúst 1802, dáinn 6. apríl 1829) var norskur stærðfræðingur. Á sinni stuttu ævi náði hann að gera ýmsar grundvallaruppgötvanir á sviði algebrufalla og raða. Hann sannaði til dæmis að ekki væri til almenn formúla fyrir lausnir fimmta stigs margliðu og skoðaði ýmsa eiginleika sporgerðra falla. Einnig tók hann til í ónákvæmum verkum eldri meistara, svo sem Eulers, og lagði þannig grunn að agaðri stærðfræðilegri útleiðslu í vinnu með raðir. Í dag eru Abelsverðlaunin veitt í hans nafni stærðfræðingum sem þykja hafa skarað fram úr á alþjóðavettvangi.

Niels Henrik Abel var annað barn presthjónanna Søren Georg Abel og Anne Marie. Fjölskyldan bjó þá á Finnøy í fylkinu Rogaland en þegar Niels var tveggja ára fluttust þau til Gjerstad í Austur-Ögðum þar sem hann ólst upp. Þrettán ára gamall var hann sendur í skóla til Oslóar eða Kristjaníu eins og borgin nefndist þá.

Fyrsti stærðfræðikennari hans þar var af gamla skólanum og plagaði nemendur sína og hikaði ekki að við að beita þá ofbeldi. Því var erfitt að læra hjá honum. Þetta endaði með því að einn daginn barði hann nemanda svo illa, að hann lést viku síðar. Eftir þetta atvik kröfðust nemendur skólans nýs stærðfræðikennara og það fengu þeir. Sá maður hét Bernt Michael Holmboe og fljótlega eftir að hann tók við starfinu uppgötvaði hann snilli Abels. Hann tók drenginn í einkakennslu og fór að kynna fyrir honum alþjóðlegar rannsóknir í stærðfræði. Árið 1821 lauk Abel svo stúdentsprófi frá með ágætiseinkunn í stærðfræði en mun verri einkunnir í öðrum fögum.

Næst tók við nám við Háskólann í Kristjaníu og hóf Abel það þetta sama ár. Fjárhagur hans var þó bágur á þessum tíma enda var faðir hans nýlátinn og móðir hans gat varla séð fyrir sjálfri sér heima í sveitinni. Vinskapur Abels við Holmboe og áhrif hans innan norskrar menntastéttar varð þó til þess að hæfileikar Abels fóru að spyrjast út. Þetta varð svo til þess að nokkrir prófessorar slógu saman í styrki handa Abel svo hann gæti haldið áfram námi. Það gerði hann, en námið varð lítilfjörlegt. Engar rannsóknir á sviði stærðfræði voru við Háskólann í Kristjaníu og lærði Abel því að mestu sjálfstætt.

Á þessum tíma skrifaði hann nokkrar greinar sem birtust í almennum norskum vísindatímaritum og fór í kjölfarið að vekja sífellt meiri athygli. Árið 1823 var honum boðið til Kaupmannahafnar. Þar gat hann loks hitt fleiri stærðfræðinga, bæði prófessora og stúdenta. Þar kynntist hann einnig Christine Kemp sem hann trúlofaðist síðar. Að lokinni Kaupmannahafnarheimsókninni fór hagur hans að vænkast fjárhagslega. Hann komst á opinbera styrki árið 1824 og honum var lofað utanlandsferð næði hann betri tökum á frönsku. Hann fór því að leggja stund á hana og árið 1825 hélt hann til útlanda ásamt nokkrum öðrum norskum stúdentum.

Í upphafi var ætlunin að líta við hjá Gauss í Göttingen og halda síðan til Parísar sem þá var Mekka stærðfræðinnar. Á leiðinni breyttist þó ferðaáætlunin og Abel endaði í Berlín. Þar kynntist hann manni að nafni August Leopold Crelle. Crelle var verkfræðingur en mikill áhugamaður um stærðfræði og hafði lengi gælt við að setja á stofn þýskt stærðfræðitímarit. Abel gat ýtt þeirri áætlun hans úr vör og réðst Crelle í útáfu tímarits sem hann nefndi Journal für die reine und angewandte Mathematik. Í það tímarit átti Abel síðar eftir að skrifa margar sínar merkustu greinar og átti hann raunar stærstan þátt í því hversu virt það varð.

Abel dvaldist í Berlín í fjóra mánuði en hélt svo til Alpanna. Þangað fylgdi hann félögum sínum, sem voru flestir að læra jarðfræði og landfræði, því hann óttaðist að þurfa að ferðast einn. Til Parísar komst hann loks í júlí 1826 og var hann þá orðinn einn á ferðalaginu. Þetta var langþráður áfangastaður og hafði hann sparað það sem hann taldi sínar merkustu hugleiðingar til þessa tækifæris. Nú settist hann því niður og skrifaði hugleiðingarnar niður og úr varð fræðirit sem hann lagði fyrir vísindakademíuna í París. Akademían sýndi ritinu þó takmarkaðan áhuga, lagði það til hliðar og það gleymdist. Abel tók þessu mjög þunglega og veiktist í kjölfarið. Um áramótin 1827 hélt hann heim á leið aftur frekar daufur. Á leiðinni neitaði hann boði um að ritstýra tímariti Crelles sökum þess að nú langaði hann bara heim til Noregs.

Þegar Abel kom aftur heim til Noregs litu Norðmenn svo á að ferðin hefði mistekist. Abel hafði einungis náð að skrifa greinar í eitthvað „nýtt og ómerkilegt“ þýskt tímarit og litla lukku hafði hann vakið í París. Því voru styrkirnir dregnir til baka og nú varð hann að lifa á láni, sem hann tók persónulega. Abel hélt þó áfram að leggja stund á stærðfræði og skrifa greinar, sem hann sendi til Crelle til útgáfu. Síðar á árinu veiktist hann af berklum. Þrátt fyrir veikindin reyndi hann að komast heim í sveitina til að dveljast þar yfir jólin. Það tókst honum en veikindin ágerðust upp úr því og næstu mánuðina var hann rúmliggjandi. Það var síðan 6. apríl 1929 sem hann lést, einungis 26 ára gamall. Þetta síðasta ár sitt hafði hann þó afkastað gríðarmiklu. Hann skrifaði 13 stórar fræðiritgerðir, þá lengstu upp á 126 blaðsíður. Sumir telja að ástæða þessarar vinnugleði hafi verið sú, að hann hafi strax í París verið greindur með berkla og hann hafi því vitað hvað var framundan.

Tveimur dögum eftir andlát hans voru svo send af stað tvö bréf en þá vissi hvorugur aðilinn af andlátinu. Annað þeirra var frá París, þess efnis að fræðiritið, sem hann lagði fyrir vísindaakademíuna væri nú fundið aftur. Hitt var frá Crelle sem tilkynnti að nú væri öruggt að hann fengi stöðu við Berlínarháskóla en Crelle hafði síðustu árin sótt það stíft að útvega Abel stöðu við háskólann. Hann hafði oft verið hársbreidd frá því en alltaf hafði það mistekist.

Á þessum tíma var búið að uppgötva almennar formúlur fyrir lausnum annars, þriðja og fjórða stigs margliðna en menn sátu fastir á fimmta stigs margliðunni. Það varð fyrsta markmið Abels að leysa þetta vandamál og hann hóf leitina að almennri formúlu strax í menntaskólanum í Kristjaníu. Abel tókst fljótt að finna formúlu sem hann taldi rétta og rökstuddi hana á það sannfærandi hátt að hvorki Holmboe né Ferdinand Degen (sem var einn frægasti stærðfræðingur á Norðurlöndum á þeim tíma) fundu glufur í lausninni. Degen vissi þó að margir höfðu reynt að finna þessa formúlu og jafn mörgum hafði mistekist svo hann ráðlagði Abel að skoða fleiri töluleg dæmi áður en hann kynnti fleirum lausnina.

Abel hóf prófanir og komst fljótt að því að formúlan var kolröng. Hann lét þó ekki bugast heldur hélt leitinni áfram næstu árin. Hann fann þó lítið annað en mótsagnir og sannfærðist smátt og smátt um að svona formúla væri ekki til. Árið 1823 taldi hann sig svo vera kominn með sönnun fyrir því. Þessari sönnun þjappaði hann saman á sex síður, lét prenta hana á eigin kostnað og sendi ýmsum frægum stærðfræðingum, meðal annars Gauss. Viðbrögðin voru lítil en Abel var engu að síður ánægður með þetta fyrsta afrek sitt.

Reyndar var það svo að 25 árum áður en þetta gerðist hafði Ítali að nafni Paolo Ruffini sýnt fram á nákvæmlega það sama. Sönnun hans þótti þó óskýr og flókin og kom meira að segja á daginn að villa var í henni. Einnig kom í ljós að göt voru í sönnun Abels en hann náði að stoppa í þau og sendi síðar frá sér tvær óhrekjanlegar sannanir fyrir því að umrædd formúla væri ekki til. Í dag er þeim þó báðum veittur heiðurinn af þessari niðurstöðu og nefnist hún Abel-Ruffinis reglan.

Sporgerð föll voru annað áhugamál Abels. Það var Ferdinand Degen sem benti honum á að skoða þau í tengslum við rannsóknirnar á fimmta stigs margliðum. Þessar rannsóknir réðst Abel í þegar hann kom heim frá fyrstu Kaupmannahafnarheimsókn sinni árið 1824 og skoðaði föllin frá öðrum sjónarhornum en aðrir höfðu gert. Þetta leiddi til ýmissa nýrra uppgötvana. Til dæmis uppgötvaði hann að þessi föll hafa tvær aðskildar lotur.

Abel vann einnig með tegur sporgerðra og algebrulegra falla. Hann bjó til almenn fræði um þessi föll og árið 1827 lauk hann við stórt rit um þau. Þetta rit sá Gauss síðar og lét þau orð falla að allar útleiðslur Abels væru einkar glæsilegar og skýrar.

Eins og með fimmta stigs margliðuna var Abel ekki einn að vinna að rannsóknum á þessum föllum. Samtímis honum vann nefnilega Þjóðverjinn Carl G. J. Jacobi. Í fyrstu unnu þeir án vitneskju hvor um annan, en þegar þeir fréttu hvað hinn var að gera hófst kapphlaup. Á þeim tíma hafði Abel næstum lokið við að setja upp fræðin og lagði því allt kapp á að koma þeim skipulega niður á blað. Hann hóf að skrifa rit um föllin, sem hann í bréfi nefndi „dauða Jacobi“. Þetta hafðist að hluta hjá honum og varð úr að Jacobi gaf Abel fullan heiður af ýmsum grundvallaruppgötvunum og notaði þær síðan óspart í rannsóknum sínum.

Eins og áður kom fram ritaði Abel sínar merkustu hugleiðingar meðan hann dvaldist í París. Úr varð fræðirit sem fjallaði um summu tegra af gefnu algebrulegu falli. Þar setti Abel meðal annars fram setningu þess efnis að allar slíkar summur mætti skrifa með p liðum slíkra tegra, þar sem tegrin væru algebruleg föll af upphaflegu tegrunum. Minnsta slíka p kallaði hann ætt algebrufallsins og var þetta í fyrsta skipti sem það hugtak kom fyrir. Umrædd regla var mun almennari en svipuð regla sem Euler hafði sett fram áður. Ritið lagði hann fyrir Vísindaakademíuna í París en hún sýndi lítinn áhuga. Það voru Cauchy og Lagrange sem áttu að meta ritið en Cauchy var allt of upptekinn með sín eigin verk og „vildi vart líta á það“ eins og Abel komst að orði í bréfi. Það varð úr að ritið gleymdist og týndist og fékk ekki verðskuldaða athygli fyrr en eftir að Abel lést. Ári eftir lát hans voru honum meira að segja veitt virt frönsk verðlaun fyrir framlag sitt.

Sjálft frumritið fannst þó ekki fyrr en árið 1952 í Lorenzo-kirkjunni í Flórens og þá vantaði í það átta síður. Fjórar þeirra fundust árið 2002 á bókasafni í Livorno en enn eru fjórar síður þessa fræðirits ófundnar.

Í Berlín vann Abel ásamt öðrum stúdentum að því að skoða það sem Euler og hans samtímamenn höfðu sett fram með gagnrýnum augum. Þóttu margar rökfærslur þessara manna um raðir hæpnar og skrifaði Abel einu sinni í bréfi: „Ósamleitnar raðir eru í heild sinni vafasamar, og skammarlegt að nokkur maður vogi sér að nýta sér þær í útleiðslum. Hægt er að komast að hvaða niðurstöðu sem maður vill með því að nota þær, og notkunin hefur hingað til einungis valdið óhamingju og mótsögnum. Er hægt að hugsa sér nokkuð hrikalegra en að fullyrða að ${\displaystyle 0=1-2^{n}+3^{n}-4^{n}+\dots }$ þegar n er jákvæð heiltala?“

Í kjölfarið fór Abel að vinna að því að sanna tvíliðuregluna óyggjandi en sú vinna átti eftir að ná mun lengra. Þegar upp var staðið hafði hann fundið ýmsa vankanta og villur í ritum annarra stærðfræðinga. Sýndi hann til dæmis fram á að ein regla, sem Cauchy taldi sig hafa sannað væri röng, en sú regla er þekkt í dag sem Ranga setning Cauchys - skopleg tilvísun í það að flest allt sem Cauchy gerði hefur reynst rétt. Villa hans fólst í því að gera ekki greinarmun á einslegri- og punktlegri samfelldni. Vinnan skilaði sér í grundvallarriti um raðir, þar sem farið var eftir ströngum reglum í útleiðslum. Til að mynda varð að sanna að markgildi raða væru til áður en menn færu að vinna með þau. Þetta rit varð upphafið að nýjum vinnureglum, sem stærðfræðingar, sem vinna með raðir, hafa til hliðsjónar enn í dag.

Abel hefur verið heiðraður á ýmsan hátt eftir dauða sinn. Mesti heiðurinn felst náttúrulega í því að niðurstöður hans á sviði stærðfræði eru í fullri notkun enn í dag. Fljótlega eftir dauða hans fóru menn að ræða um að stofnsetja alþjóðleg stærðfræðileg verðlaun í hans nafni. Árið 1898 fór svo stærðfræðingur að nafni Sophus Lie út í að safna styrkjum til að veita slík verðlaun, en þar sem hann lést ári seinna varð ekkert úr því. Umræðan vaknaði aftur 1902, 100 árum eftir fæðingu Abels, en þá lýsti Óskar 2. Svíakonungur (en á þessum tíma réði Svíþjóð yfir Noregi) yfir vilja til að stofnsetja slík verðlaun. Sú ætlun hans fór þó út um þúfur 1905 þegar Noregur og Svíþjóð slitu sambandi sínu.

Á sömu tímamótum var Abels einnig minnst um gjörvallan Noreg. Þjóðskáldin ortu um hann og voru nokkrum stærðfræðingum veittar viðurkenningar í hans nafni. Árið 1908 var svo í tengslum við þetta vígð stytta af Abel í Frognerparken í Ósló. Hundrað árum eftir að Abel lést, það er árið 1929, var hann prentaður á frímerki og árið 1948 var hann svo heiðraður enn frekar þegar andlit hans var sett á framhlið norska 500 króna seðilsins.

Þegar 200 ár voru liðin frá fæðingu Abels árið 2002, vaknaði umræðan um verðlaunin enn á ný. Í þetta skiptið komust verðlaunin á legg og veitti Noregskonungur Abelsverðlaunin í fyrsta skipti í júní árið 2003 til Jean-Pierre Serre. Árið 2004 runnu verðlaunin til Sir Michael Francis Atiyah frá Edinborgarháskóla og Isadore M. Singer frá MIT og árið 2005 hlaut þau Peter D. Lax frá Courant stofnuninni við New York háskóla.

Að lokum má nefna að gígur á tunglinu og gata í París bera nafn Abels.

• „Niels Henrik Abel - mennesket og matematikken“. Sótt 19. desember 2005.
• „Heimasíða Abels verðlaunanna“. Sótt 19. desember 2005.
• „The MacTutor History of Mathematics archive“. Sótt 19. desember 2005.